Seminario de Matemática Avanzada

Curso 2025-26: Introducción a la física cuántica


aviso

Avisos:  

• Las calificaciones del parcial del 14 de mayo están en Moodle.
• Aquí están las soluciones de los cuatro últimos problemas de la hoja 7 que no dio tiempo a hacer en clase.


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temario

Temario 

El temario está incluido en el SharePoint del grado. Concretamente, este es el enlace al documento. Estos son los contenidos de la propuesta:
  • [1] Conceptos básicos
    1. Introducción histórica.
    2. La ecuación de Schrödinger.
    3. Postulados, medición e incertidumbre.
    4. El oscilador armónico.
  • [2] Sistemas de espín
    1. Las matrices de Pauli.
    2. Entrelazamiento.
    3. Teleportación.
    4. Computación cuántica.
  • [3] Momento angular
    1. * El operador momento angular.
    2. * Armónicos esféricos.
    3. El átomo de hidrógeno.
    4. * Adición de momentos angulares.
Estos contenidos pueden sufrir ligeras modificaciones a lo largo del curso. Es muy probable que se eliminen los temas marcados con *.

El horario de las clases es: lunes de 12:30 a 13:30 y miércoles y jueves de 11:30 a 12:30, con algunas excepciones. Concretamente, hay clase de 12:30 a 13:30 los viernes 30 de enero y 10 de abril, de 11:30 a 12:30 el viernes 20 de febrero y no hay clase el jueves 19 de febrero ni la semana del 23 de abril salvo una prueba de evaluación el 25 a las 12:00. El horario oficial se puede consultar en la aplicación web. Hay una copia local en PDF (descargada el 27/ene/2026) aquí.


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apuntes

Apuntes 

Es mi intención incluir aquí periódicamente apuntes de la asignatura.
Tema Versión
 [1].1 Introducción histórica 2/feb/2026
 [1].2 La ecuación de Schrödinger 11/feb/2026
 [1].3 Postulados, medición e incertidumbre 26/feb/2026
 [1].4 El oscilador armónico 8/mar/2026
 [2].1 Las matrices de Pauli 4/abr/2026
 [2].2 Entrelazamiento 21/abr/2026
 [2].3 Comunicación cuántica 29/abr/2026
 [2].4 Computación cuántica  [no entra en examen] 4/may/2026

Véase la sección de enlaces para material docente externo.

Erratas:
[1].2, p.15: En la primera solución general es \(ir\) en lugar de \(r\).
[2].1, p.6: El tipo de letra no es el adecuado en la última fórmula centrada. Sustituir \(\phi\) por \(\varphi\).
[2].3, p.3: En la última fórmula falta multiplicar tensorialmente \(|\psi\rangle\) por \(|+\rangle\).

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ejercicios

Ejercicios 

Las hojas de problemas propuestos estarán disponibles aquí.

Hojas de problemas
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4
Hoja 5 Hoja 6 Hoja 7 Hoja 8  [no entra]

Aquí están las soluciones de los cuatro últimos problemas de la hoja 7 que no dio tiempo a hacer en clase.

Actualización 10/feb: En la hoja 2 ejercicio 23 faltaba un cuadrado y se ha añadido también la hipótesis de que sea par porque el caso impar no se ha visto en clase.
Erratas hoja 3: En el ejercicio 3, a "contraejemplo" le falta una "e" y la hipótesis de que \(T\) sea observable sobra. Es para cualquier operador en un espacio de Hilbert complejo.
En el ejercicio 7, obviamente \(A\) es \(Q\) en la primera línea.
Errata hoja 7: En el ejercicio 5, donde pone "no de vectores" debe leerse "en vez de vectores".
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examenes

Exámenes 

Se prevé realizar dos exámenes parciales (controles). Uno el 25 de marzo y otro el último día de clase.

Hay tres fuentes de calificación:
P = media de los parciales (sobre 10).
F = examen final (sobre 10).
E = entrega o presentación de ejercicios en clase (sobre 2).

La calificación final viene dada por la fórmula max(F, E+0.7P+0.2F). Es decir, sin los ejercicios se puede sacar hasta un 9 (sobresaliente). También es posible aprobar sin asistir al examen final siempre que E+0.7P sea mayor o igual que 5.

Las calificaciones se podrán consultar a través de Moodle.

En el parcial del 25 de marzo se distribuirá este formulario. Los contenidos son el bloque [1] con las siguientes reducciones:

  • 1.1. Hay que conocer fórmulas mecánicas básicas para calcular dimensiones (velocidad, aceleración, momento, fuerza, energía), pero no las que involucran cargas y corrientes. De las constantes, hay que saber las dimensiones de la de Planck.

  • 1.2, 1.3. Estas secciones tienen información de interés principalmente histórico. No hay nada evaluable.

  • 3.3. Hay que saber cómo se halla la exponencial de una matriz diagonalizable, lo cual es temario de asignaturas anteriores.

  • 4.3. Esta sección no entra en el examen.


El parcial del 14 de mayo (último día de clase) tendrá lugar de 10:30 a 12:30. Este aumento de duración se compensará suprimiendo la clase del 11 de mayo (en la que se impartirá la asignatura de Ampliación de EDP). Se distribuirá este formulario. El examen comprende únicamente el bloque [2] "Sistemas de espín". Aquí hay algunos comentario respecto a los contenidos:

  • 1.3. No entra en examen, contiene una demostración del teorema de rotación de Pauli.

  • 2.3. No hace falta memorizar la desigualdad de Bell.

  • 3.2. Los enunciados de los teoremas de no clonación y no borrado están incluidos en el formulario. La versión avanzada de este último teorema no entra en examen.

  • 3.3. Hay que entender los pasos de la teleportación, pero no memorizarlos. Deben considerarse como un ejemplo ilustrativo de mediciones parciales en estados entrelazados.

  • La sección 4 es una introducción a la computación cuántica para los estudiantes interesados, no constituye material evaluable ni en este examen ni en el final.



Exámenes del curso
Primer parcial: Enunciados   con soluciones
Segundo parcial: Enunciados   con soluciones



enlaces

Enlaces 

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