| En el
curso 2016-17 dirijo tres trabajos de fin de grado. Parte
del material y las previsiones están aquí. Se evita
escribir el nombre de los estudiantes para respetar su
privacidad. Si eres uno de los estudiantes, aparte de la sección dedicada a tu trabajo, te puede interesar la sección de enlaces. Trabajo 1Título provisional: Matemáticas relacionadas con el espín.Motivación y resumen: Es muy habitual que en los cursos de matemáticas se limiten las aplicaciones físicas porque no se pueden hacer teoremas de ellas o porque requieren conocimientos previos. De esta forma se pierde la oportunidad de entender muchas cosas interesantes. En este trabajo la idea es asomarse a algunas de las aplicaciones a la física cuántica con el denominador común que todas están relacionadas con el espín. Es deseable llegar hasta la ecuación de Dirac que da cierto sustento teórico a la existencia del espín y además se relaciona con algunos temas de álgebra. Comentarios: Los conocimientos previos para el trabajo son poco más que tener muy claro el álgebra lineal y el cálculo de primero. Supongo que la mayor dificultad puede venir de que un mínimo de las bases de la física cuántica hay que ver (seguramente empezaremos por ello). Estas bases no son sencillas y además no es tan fácil encontrar exposiciones legibles para los matemáticos. Dependiendo de tus gustos, podemos reducir lo que hay que saber a un mínimo o, dentro de ciertos límites, suponer lo que sea necesario sin entrar en explicaciones. Propuesta de temario: Toma este temario como una propuesta inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
Estado de las hojas:
Trabajo 2Título provisional: Física y matemáticas de la ecuación de Schrödinger.Motivación y resumen: Casi todas las ecuaciones en derivadas parciales que se estudian en los cursos de matemáticas derivan de la física. Demasiado a menudo no explica su origen y se tratan en general, sin pararse demasiado en casos particulares o aproximaciones, lo cual limita bastante la intuición. En este trabajo la idea es proceder en sentido contrario, entrando en la motivación de la ecuación de Schrödinger y en el significado de los casos particulares. Dependiendo de tus gustos, nos podemos adentrar un poco más en las matemáticas que aparecen en física cuántica y su significado. Comentarios: El trabajo requiere como conocimientos previos poco más que tener muy claro el cálculo de primero. No es necesario que sepas teoremas de los cursos de ecuaciones en derivadas parciales. Supongo que la mayor dificultad puede venir de que un mínimo de las bases de la física cuántica hay que ver (seguramente empezaremos por ello). Estas bases no son tan sencillas y además en la literatura suelen estar descritas "para físicos", que tiene una formación algo diferente que los matemáticos. De todas formas, dependiendo de tus gustos lo podemos reducir a un mínimo. Propuesta de temario: Toma este temario como una propuesta inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
Estado de las hojas:
Trabajo 3Título provisional: La ciclotomía según Gauss.Motivación y resumen: Gauss probó en el último capítulo, la sección VII, de su obra maestra Disquisitiones Arithmeticae un bello teorema que caracteriza los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás. Desde el punto de vista actual, esto requiere la teoría de Galois abeliana pero entonces ni Galois ni Abel habían nacido. Los argumentos de Gauss son bastante elementales y a su vez la base de varias ideas que inspiraron a Abel y Galois. El propósito del trabajo es explicar estos argumentos siguiendo el esquema del original. Comentarios: El trabajo no requiere de técnicas matemáticas avanzadas. Desde mi punto de vista la mayor dificultad que te va a surgir es leer a Gauss. Por un lado, sus explicaciones tienen niveles de rigor similares a los actuales y además pone ejemplos ilustrativos, pero por otro, la notación resulta a veces extraña (y no existía LaTeX) y a menudo explica cosas que nos parecen claras porque ahora forman parte de los temarios del grado. Lo que vamos a hacer es tomar lo que escribió Gauss como un esquema pero cambiaremos la notación cuando sea conveniente y utilizaremos atajos que hoy en día sean bien conocidos. También nos saltaremos las cosas que no sean muy relevante para probar el resultado. Propuesta de temario: Toma este temario como una propuesta inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
Estado de las hojas:
Enlaces |