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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Al resolver la ecuación de Schr\"odinger para el electrón del átomo de hidrógeno, se necesita saber algunas cosas de los llamados \emph{armónicos esféricos}. Posiblemente no te hayan aparecido en el grado, esencialmente sirven para desarrollar por Fourier funciones que viven en la esfera unidad $S^2$. Dedicamos esta hoja a lo que necesitas saber de ellos. Es un tema duro si se ve en toda su amplitud y por tanto nos saltaremos algunas cosas. Los físicos suelen utilizar  para introducirlos propiedades del momento angular y teoría de representaciones pero eso nos llevaría demasiado tiempo.  

\

Llamaremos $\mathcal{P}$ al espacio de polinomios en tres variables $x$, $y$, $z$. Recuerda que se dice que $P\in\mathcal{P}$ es \emph{homogéneo} si todos sus monomios tienen el mismo grado, por ejemplo $x^3+3xyz+2z^3$ es homogéneo y $x^2+y^2+x$ no lo es. Recuerda (o aprende) que $P\in\mathcal{P}$ es \emph{armónico} si $\Delta P=0$ con $\Delta$ el operador laplaciano 
$\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2$. 

El resultado básico que vamos a emplear es 
\begin{equation}\label{ds}
L^2(S^2)=
\hat{\bigoplus_{l=0}^\infty}\; \mathcal{E}_l
\end{equation}
donde $\mathcal{E}_l$ representa las restricciones a $S^2$ de los $P\in\mathcal{P}$ armónicos y homogéneos de grado $l$ unión con el cero (para que sea un espacio vectorial). El símbolo $\hat{\ }$ indica que hay que tomar el completado pero si no lo entiendes, te puedes olvidar de ello. La parte fundamental es probar que toda $f\in L^2(S^2)$ se puede aproximar tan bien como queramos por combinaciones de elementos de los $\mathcal{E}_l$. Te cuento los pasos para deducir esto. Refleja lo que quieras sobre ello en tu trabajo. 

\

$\bullet$ 
Las funciones continuas son densas en $L^2(S^2)$, por tanto se puede suponer $f$ continua.

\quad\underbar{Expl.} Esto es un conocido teorema \cite{rudin} de espacios $L^p$.

$\bullet$ 
$f$ se puede extender a $F$ continua en la bola cerrada unidad.

\quad\underbar{Expl.} Por ejemplo, usando coordenadas esféricas, se puede tomar $F=rf(\theta,\varphi)$.

$\bullet$ 
$F$ se puede aproximar uniformemente en la bola cerrada unidad por polinomios de $\mathcal{P}$.

\quad\underbar{Expl.} 
También es un conocido teorema, un caso particular del de Stone-Weierstrass. Seguramente te han contado al menos el caso de dimensión~1.

$\bullet$ 
Todo $P\in\mathcal{P}$ es combinación lineal de polinomios homogéneos.

\quad\underbar{Expl.} 
Muy fácil.


$\bullet$ 
Todo $P\in\mathcal{P}$ homogéneo es combinación lineal de polinomios armónicos multiplicados por potencias de $x^2+y^2+z^2$.

\quad\underbar{Expl.} 
Esto sale con álgebra lineal pero es un poco largo de explicar. Te digo un ejemplo: Si $P = x^2+y^2+xz+2017 z^2$, entonces $P= 672H_1+H_2+673(x^2+y^2+z^2)H_3$
con $H_1=-x^2-y^2+2z^2$, $H_2=xz$ y $H_3=1$, que son armónicos.

\

Si quieres saber más, no conozco buenas referencias para \eqref{ds}. La que más me gusta es un capítulo de un libro de teoría de números \cite{iwaniec}. En internet he visto  
\cite{taheri} que tiene buena pinta. En general, el tema de los armónicos esféricos está en el texto clásico \cite{CoHi} pero no me parece muy completo. 


\ejer {\sf [Solo para ver si lo has entendido]}
Prueba que $\{xy,xz,yz,x^2-z^2,x^2-y^2,x^2+y^2+z^2\}$ es una base de los polinomios homogéneos de grado dos (y el cero). Todos son armónicos excepto el último. Deduce de ello el último punto para todo $P$ de grado~2.

\

Para lo que sigue, es fundamental separar en el laplaciano la parte que depende del radio y la parte que depende de los ángulos. Concretamente, hay que saber que al cambiar a coordenadas esféricas, el laplaciano se escribe como 
\begin{equation}\label{lape}
\Delta=
\frac{\partial^2}{\partial r^2}
+\frac 2r\frac{\partial}{\partial r}
+\frac 1{r^2}\Delta^*
\qquad\text{con}\quad
\Delta^*
=
\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
+\frac{\cos\theta}{\sen\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}
+\frac{1}{\sen^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
\end{equation}
Este cambio de variables es una cuenta larga pero, por favor, convéncete de que sabrías hacerla con la regla de la cadena si dedicaras suficiente tiempo a ello. 
Aquí $\Delta^*$ es la parte que no depende del radio y se considera que es el laplaciano en $S^2$. Al estudiar el átomo de hidrógeno aparecen las autofunciones de $\Delta^*$ y ellas son los armónicos esféricos después de normalizarlas adecuadamente. 

\

Sea $f$ definida en $S^2$ autofunción de $\Delta^*$ con autovalor $\lambda$, esto es, $\Delta^* f=\lambda f$. Por \eqref{ds} sabemos que $f=\sum_{l=0}^\infty e_l$ para ciertos $e_l\in \mathcal{E}_l$  donde $e_l=P_l\big|_{S^2}$ con $P_l$ polinomio armónico homogéneo de grado $l$  o $e_l=0$. 

\ejer
Prueba que de $\Delta P_l=0$ y $\Delta^* f=\lambda f$ se sigue 
$\sum\big( l(l+1)+\lambda\big)e_l=0$. 
{\sf  Indicación:} 
En esféricas, $P_l(r,\theta,\varphi)= r^l e_l(\theta,\varphi)$
y $f(\theta,\varphi)=\sum e_l(\theta,\varphi)$; utiliza esto para hallar $\Delta\sum P_l$ con~\eqref{lape}. Da por hecho siempre, sin justificarlo,  que no hay problemas de convergencia (se sigue de la teoría general). 


\ejer
Usando que \eqref{ds} es una suma directa, deduce que 
$\sum\big( l(l+1)+\lambda\big)e_l=0$ 
implica que todos los sumandos deben ser cero y de aquí 
que $\lambda = -l(l+1)$ para algún $l\ge0$ entero. 
{\sf Observación:}
Por definición de autofunción $f\ne0$ por tanto no todos los $e_l$ son nulos. 

\

En definitiva, hemos probado que si $\Delta^* f=\lambda f$, con $f\ne 0$,  entonces necesariamente $\lambda = -l(l+1)$ y $f$ es la restricción de un polinomio armónico homogéneo de grado~$l$. El razonamiento también funciona en la otra dirección, así que $\mathcal{E}_l$ es exactamente el subespacio de autofunciones de autovalor $-l(l+1)$. 
Por ejemplo, 
\[
 \mathcal{B}_0=\{1\},\qquad
\mathcal{B}_1=\{x,y,z\} \qquad\text{y}\qquad
\mathcal{B}_2=\{xy,xz,yz,x^2-z^2,x^2-y^2\},
\]
son bases de los polinomios armónicos homogéneos de grados 0, 1 y 2 (unión con el cero para que sean subespacios), entonces las bases en esféricas de autofunciones de $\Delta^*$ con autovalores $-0\cdot 1$, $-1\cdot 2$ y $-2\cdot 3$ son
$\mathcal{B}'_0=\{1\}$,
$\mathcal{B}'_1=\{\cos\varphi\sen\theta,\sen\varphi\sen\theta,\cos\theta\}$
y
\begin{multline*}
\mathcal{B}'_2=\{\sen\varphi\cos\varphi\sen^2\theta,\cos\varphi\sen\theta\cos\theta
,
\sen\varphi\sen\theta\cos\theta,
\\
\cos^2\varphi\sen^2\theta-\cos^2\theta,
\cos^2\varphi\sen^2\theta-\sen^2\varphi\sen^2\theta
\}.
\end{multline*}

Para grados mayores, hallar una base $\mathcal{B}_l$ de los polinomios armónicos homogéneos de grado~$l$  llevaría un buen rato y $\mathcal{B}_l'$ contendría en general expresiones bien feas. Vamos a ver que hay una base con una estructura razonablemente simple. 

Cada $P\in\mathcal{B}_l$ tiene suma de grados en $x$ e $y$ menor o igual que $l$. Si escribimos 
$\cos\varphi=(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})/2$
$\sen\varphi=(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})/2i$
en las fórmulas para $x$ e $y$ de esféricas, 
se sigue que cada elemento de $\mathcal{B}_l'$ será combinación lineal de expresiones de la forma
\begin{equation}\label{sepphi}
e^{im\varphi}P(\sen\theta, \sen\theta, \cos\theta)
\qquad\text{con}\quad
-l\le m\le l,\quad m\in\Z
\end{equation}
donde $P\in\mathcal{P}$ es homogéneo de grado $l$. 
Se puede probar que aparecen todos los $m$ en el rango indicado (aunque no lo haremos aquí). 
No es difícil ver que en $P(\sen\theta, \sen\theta, \cos\theta)$ las potencias de $\sen\theta$ difieren de $m$ en un número par, ya que en 
las fórmulas de esféricas para $x$ e $y$, $\sen\theta$ está acompañado por $\cos\varphi$ y $\sen\varphi$  que dan lugar a $e^{i\varphi}\pm e^{-i\varphi}$.

\ejer
Explica \eqref{sepphi} y la última afirmación. 

\

Utilizando $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ se llega a que los elementos de $\mathcal{B}'_l$ son combinaciones lineales de funciones del tipo 
\[
 Y_{lm}(\theta,\varphi)=
 \begin{cases}
  e^{im\varphi}Q(\cos\theta)&\text{si $m$ es par},
  \\
  e^{im\varphi}\sen\theta Q(\cos\theta)&\text{si $m$ es impar},
 \end{cases}
\qquad\text{con}\quad
-l\le m\le l,\quad m\in\Z
\]
y $Q$ es un polinomio de una variable de grado $l$ si $m$ es par y de grado $l-1$ si es impar. Se suelen normalizar de manera que $Q$ tenga coeficientes reales y se cumpla 
$\int_{S^2}|Y_{lm}|^2=1$ (se puede probar que esto determina $Y_{lm}$ salvo el signo pero no lo haremos aquí). En ese caso se dice que son los \emph{armónicos esféricos}. Al sustituir 
$f=\sum_{m=-l}^l c_m Y_{lm}\in \mathcal{B}'_l$ en $\Delta^*f=-l(l+1)f$ y comparar los coeficientes (de Fourier) de los $e^{im\varphi}$ se deduce que los armónicos esféricos no solo generan las autofunciones sino que  son también autofunciones. 

\ejer
Halla $Y_{32}$ razonadamente salvo la constante normalizadora. Es decir, busca una función del tipo $f(\theta,\varphi)=e^{2i\varphi}Q(\cos\theta)$ con $Q$ de grado~3 que cumpla $\Delta^* f=-3\cdot 4f$.
{\sf  Indicación:} 
Para que no te eternices haciendo cálculos, da por hecho que si $F(\theta)=\cos^3\theta+a\cos^2\theta+b\cos\theta+c$,
entonces
$\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}+\frac{\cos\theta}{\sen\theta}
\frac{\partial F}{\partial \theta}+12F=
6\cos\theta+a(6\cos^2\theta+2)+10b\cos\theta +12c$. 
Esto se sigue sin más que derivar y simplificar pero es un poco aburrido hacerlo. 

\

Lo que me tienes que entregar. A lo más debe ocupar seis páginas pero intenta que sea bastante menos. 

\ejer
Considera el siguiente teorema:
{\it En el problema $\Delta^*f=\lambda f$ los únicos autovalores posibles son $\lambda=-l(l+1)$ con $l\in \Z_{\ge 0}$ y para cada $l$ una base de las autofunciones es 
$\{Y_{lm}\}_{m=-l}^l$ donde $Y_{lm}$ es $e^{im\varphi}$ por un polinomio de grado $l$ en $\cos\theta$ si $m$ es par y $\sen\theta$ por un polinomio de grado $l-1$ en $\cos\theta$ si $m$ es impar}. Enúncialo, cambiando las palabras a tu gusto o dividiéndolo en dos si quieres, y da la prueba con lo que has aprendido (salvo las lagunas que se dejan en esta hoja), indicando los pasos que te saltas. Ilustra el resultado con una tabla de $Y_{lm}$ para $l=0$ y $l=1$ (cuatro funciones en total) que encuentres en la red o en un libro. Si tienes ganas y te sobra espacio, añade también las de $l=2$. Nota que algunos autores llaman $Y_{l}^m$ a lo que yo he llamado $Y_{lm}$.

\

Un comentario final. Después de esta hoja sobre todo con los cálculos del penúltimo ejercicio,  posiblemente te preguntes si no existe una fórmula explícita para los $Y_{lm}$. La respuesta es sí, pero no es tan explícita como pudiera parecer a primera vista. Si tienes curiosidad, está por ejemplo en \S XIII.9 de \cite{messiah}. Muchas veces se escribe de forma menos elemental en términos de lo que se llaman polinomios asociados de Legendre. 


\begin{thebibliography}{Rud87}

\bibitem[CH53]{CoHi}
R.~Courant and D.~Hilbert.
\newblock {\em Methods of mathematical physics. {V}ol. {I}}.
\newblock Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y., 1953.

\bibitem[Iwa97]{iwaniec}
H.~Iwaniec.
\newblock {\em Topics in classical automorphic forms}, volume~17 of {\em
  Graduate Studies in Mathematics}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

\bibitem[Mes62]{messiah}
A.~Messiah.
\newblock {\em Quantum mechanics. {V}ol. {II}}.
\newblock Translated from the French by J. Potter. North-Holland Publishing
  Co., Amsterdam; Interscience Publishers, a division of John Wiley {\&} Sons,
  Inc., New York, 1962.

\bibitem[Rud87]{rudin}
W.~Rudin.
\newblock {\em Real and complex analysis}.
\newblock McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987.

\bibitem[Tah15]{taheri}
A.~Taheri.
\newblock {\em Function spaces and partial differential equations. {V}ol. 2},
  volume~41 of {\em Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications}.
\newblock Oxford University Press, Oxford, 2015.
\newblock Contemporary analysis.

\end{thebibliography}


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\end{document}

