Trabajos de Fin de Grado 2024-2025



Propuesta inicial y datos más concretos después de conocer las preferencias del estudiante.


Propuesta
Sumas e integrales oscilatorias
El tema principal es un estudio de sumas e integrales trigonométricas basado sobre todo en el principio de fase estacionaria y mencionando algunas aplicaciones. También se entrará en algunas consideraciones más algebraicas y aritméticas, así como en otras geométricas sobre la representación gráfica de sumas parciales oscilatorias.
  • Duke, W.; Garcia, S. R.; Lutz, B. The graphic nature of Gaussian periods. Proc. Amer. Math. Soc. 143 (2015), no. 5, 1849-1863.
  • Graham, S. W.; Kolesnik, G. van der Corput's method of exponential sums. London Mathematical Society Lecture Note Series, 126. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
  • Huxley, M. N. On stationary phase integrals. Glasgow Math. J. 36 (1994), no. 3, 355-362.
  • Montgomery, H. L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 84. American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Estimaciones básicas.
  2. El principio de fase estacionaria.
  3. El método de van der Corput.
  4. Algunos aspectos geométricos.
  5. Dos aplicaciones aritméticas.
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Propuesta
La función ζ de Riemann
En el trabajo se tratarán diferentes aspecto analíticos y aritméticos de la función del título. Entre ellos, la continuación analítica, la ecuación funcional, la asintótica de los ceros, valores especiales, fórmulas de sumación asociadas y la relación con los números primos.
  • Davenport, H. Multiplicative number theory. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 74. Springer-Verlag, New York, 2000.
  • Ivić, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1985.
  • Iwaniec, H. Lectures on the Riemann zeta function. University Lecture Series, 62. American Mathematical Society, Providence, RI, 2014.
  • Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function. Second edition. Edited and with a preface by D. R. Heath-Brown. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1986.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Propiedades analíticas básicas.
  2. La ecuación funcional.
  3. Relación con funciones aritméticas.
  4. La distribución de los números primos.
  5. La hipótesis de Riemann.
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Propuesta
Aspectos matemáticos del tratamiento de señales
Este trabajo tendrá tanto una componente teórica como otra computacional. Se utilizará de manera práctica el análisis de Fourier discreto, el continuo y las wavelets aplicando estas áreas al tratamiento de señales, al tiempo que se estudian algunos de sus aspectos fundamentales. El plan incluye elaborar código en Matlab/Octave.
  • Brémaud, P. Mathematical principles of signal processing. Springer-Verlag, New York, 2002. Fourier and wavelet analysis.
  • Chamizo, F. A course on signal processing. 2020. http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/libreria.html.
  • Gonzalez, R. C. and Woods, R. E. Digital image processing. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ., third edition, 2008.
  • Pinsky, M. A. Introduction to Fourier analysis and wavelets. Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 2002.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Análisis de Fourier discreto y continuo.
  2. Muestreo y filtros.
  3. Codificación y compresión.
  4. JPEG y otras aplicaciones.
  5. Introducción a las wavelets.
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Propuesta
Las sumas de Gauss en matemáticas y física
Las sumas de Gauss están ligadas a la reciprocidad cuadrática y otros temas aritméticos. Lo que es menos conocido, es que también aparecen en temas de física matemática, sobre todo a través de la ecuación de Schrödinger. El propósito del trabajo es analizar con cierto detalle algunos ejemplos, tanto de física como de matemáticas, en los que las sumas de Gauss desempeñan un papel importante.
  • Berry, M. V. and Klein, S. Integer, fractional and fractal Talbot effects. J. Mod. Opt. 43 2139-64 (1996).
  • de la Hoz, F.; Vega, L. Vortex filament equation for a regular polygon. Nonlinearity 27 (2014), no. 12, 3031-3057.
  • Dym, H.; McKean, H. P. Fourier series and integrals. Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New York-London, 1972.
  • Oskolkov, K. I. The Schrödinger density and the Talbot effect. In Approximation and probability, volume 72 of Banach Center Publ., pages 189-219. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2006.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Evaluaciones básicas.
  2. La ley de reciprocidad cuadrática.
  3. Difracción y efecto Talbot.
  4. Vórtices en fluidos.
  5. El pozo de potencial expandido.
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Propuesta
Las funciones ζ y L en la teoría de los números primos
El propósito del trabajo es estudiar las funciones ζ y L haciendo hincapié en la relación con la distribución de los primos.
  • Davenport, H. Multiplicative number theory. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 74. Springer-Verlag, New York, 2000.
  • Ivić, A. The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1985.
  • Iwaniec, H. Lectures on the Riemann zeta function. University Lecture Series, 62. American Mathematical Society, Providence, RI, 2014.
  • Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function. Second edition. Edited and with a preface by D. R. Heath-Brown. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1986.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Motivación: dos resultados aritméticos.
  2. La extensión meromorfa de ζ.
  3. La distribución de los números primos.
  4. Las funciones L y el teorema de Dirichlet.
  5. Ceros excepcionales y número de clases.
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