Trabajos de Fin de Grado 2025-2065





Propuesta
Las series de Eisenstein

(codirigido con Eva Tourís Lojo)
Las series de Eisenstein desempeñan un papel importante en la teoría de formas modulares. En este trabajo se estudiarán desde el punto de vista de la variable compleja, aunque también se explorarán algunos aspectos aritméticos. Si el tiempo lo permite, se introducirán además algunas generalizaciones de las series clásicas.
  • Apostol, T. M. Modular functions and Dirichlet series in number theory. Graduate Texts in Mathematics, No. 41. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976.
  • Cohen, H.; Strömberg, F. Modular forms. A classical approach. Graduate Studies in Mathematics, 179. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017.
  • Hellegouarch, Y. Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2002.
  • Zagier, D. Elliptic modular forms and their applications. The 1-2-3 of modular forms, 1--103, Universitext, Springer, Berlin, 2008 (enlace).
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Definición y simetrías básicas.
  2. Desarrollo de Fourier.
  3. El espacio de formas modulares.
  4. El caso de peso 2.
  5. Otras series de Eisenstein.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
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Propuesta
Fórmulas de sumación y sus aplicaciones.

(codirigido con Eva Tourís Lojo)
El esquema del trabajo es ilustrar los enunciados y demostraciones de diferentes fórmulas de sumación con ejemplos notables. Algunas de dichas fórmulas podrían ser: sumación por partes, la identidad de Parseval, el teorema de los residuos, la fórmula de Euler-Maclaurin y la fórmula de sumación de Poisson.
  • Chamizo, F.; Raboso, D. La fórmula de sumación de Poisson y parientes cercanos. Materials Matemàtics, 2, 2017 (enlace).
  • Dym, H.; McKean, H. P. Fourier series and integrals. Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New York-London, 1972.
  • Euler, L. Introducción al análisis de los infinitos. Sociedad Andaluza de Educación Matemática ``Thales'', Seville; Real Sociedad Matemática Española, Madrid, 2000.
  • Iwaniec, H.; Kowalski, E. Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 53. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Sumación por partes.
  2. La fórmula de Euler-Maclaurin.
  3. El teorema de los residuos.
  4. La fórmula de Parseval.
  5. La fórmula de sumación de Poisson.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
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