Trabajos de Fin de Grado 2026-2027





Propuesta
Las funciones de Bessel y sus aplicaciones

(codirigido con Eva Tourís Lojo)
Se estudiarán algunas propiedades analíticas de las funciones de Bessel, por ejemplo, sus representaciones integrales y su asintótica. Una parte fundamental de los contenidos lo constituirán las aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Algunas de estas aplicaciones podrían dar lugar a digresiones sobre temas de interés para el estudiante El trabajo se centrará en las funciones de Bessel de primera especie. Si el tiempo lo permite, se podrán hacer algunas incursiones en las de segunda especie y las modificadas.
  • Colwell, P. Bessel functions and Kepler's equation. Amer. Math. Monthly, 99(1):45-48, 1992.
  • Lebedev, N. N. Special functions and their applications. Dover Publications, Inc., New York, 1972.
  • Tikhonov, A. N.; Samarskii, A. A. Equations of mathematical physics. Dover Publications, Inc., New York, 1990.
  • Watson, G. N. A treatise on the theory of Bessel functions. Reprint of the second (1944) edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Definiciones y su equivalencia.
  2. Generalización y asintótica.
  3. Recurrencias y el caso semientero.
  4. Desarrollos en funciones de Bessel.
  5. Otras funciones de Bessel.
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Propuesta
Geometría hiperbólica y los teoremas de Picard.

(codirigido con Eva Tourís Lojo)
Se propone un acercamiento principalmente geométrico y analítico a las superficies de Riemann dotadas con la distancia de Poincaré. También se explorarán algunos aspectos aritméticos relacionados con las geodésicas o los grupos Fuchsianos. Uno de los objetivos del trabajo es la demostración de los teoremas pequeño y grande de Picard.
  • Ahlfors, L., Sario, L. Riemann surfaces. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1960.
  • Bers, L. An Inequality for Riemann Surfaces. Differential Geometry and Complex Analysis H. E. Rauch Memorial Volume. Springer-Verlag. 1985.
  • Fernández Pérez, J. L. Variable Compleja II épsilon.
  • Krantz S. G. Complex Analysis: the geometric viewpoint. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America, 1990.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. El semiplano de Poincaré.
  2. Superficies de Riemann.
  3. Un poco de aritmética.
  4. El teorema de Schottky.
  5. Los teoremas de Picard.
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Propuesta
Soluciones destacadas de la ecuación de Schrödinger

(codirigido con Adrián Ubis Martínez)
El propósito del trabajo es el estudio de algunas soluciones particulares de la ecuación de Schrödinger que tienen relevancia física. La previsión es cubrir los temas siguientes: partícula libre, potenciales con deltas de Dirac, pozos de potencial, oscilaciones de Rabi y aspectos del átomo de hidrógeno. Si el tiempo lo permite y el estudiante tiene interés, también se podría entrar en la aproximación WKB y las funciones especiales que surgen en ella.
  • Chamizo, F. Introducción a la física cuántica. Curso 2025-2026.
  • Konishi, K. and Paffuti, G. Quantum mechanics. A new introduction. Oxford University Press, Oxford, 2009.
  • Manning, M. F. Exact Solutions of the Schrödinger Equation. Phys. Rev. 48, 161 (1935).
  • Zwiebach, B. 8.06 Quantum Physics II. Fall 2013. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare. License: Creative Commons BY-NC-SA.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Consideraciones generales.
  2. Los pozos de potencial.
  3. El espín y oscilaciones de Rabi.
  4. El oscilador armónico.
  5. El átomo de hidrógeno.
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Propuesta
Álgebra, geometría, aritmética y física de los cuaterniones

(codirigido con Adrián Ubis Martínez)
Siguiendo los temas indicados en el título se estudiarán los cuaterniones como álgebra normada no conmutativa, en conexión con el grupo de Lie de rotaciones, en relación con la representación de enteros como suma de cuatro cuadrados y como alternativa al álgebra del espín dada por las matrices de Pauli. Dependiendo de los intereses del estudiante, se podrían considerar temas complementarios más teóricos, como la generalización a álgebras de Clifford, o más aplicados, como su uso en gráficos por ordenador.
  • Chamizo, F.; Jiménez-Urroz, J. Extendable orthogonal sets of integral vectors. Res. Math. Sci. 9 (2022), no. 4, Paper No. 59, 13 pp.
  • Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S. Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras. Translated from the Russian by A. Shenitzer. Springer- Verlag, New York, 1989.
  • Pauli, W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Z. Physik 43 (1927) 601-623.
  • Weiner, J. L.; Wilkens, G. R. Quaternions and rotations in E4. Amer. Math. Monthly 112 (2005), no. 1, 69-76.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. La estructura algebraica.
  2. Rotaciones en 3 y 4 dimensiones.
  3. Sumas de cuadrados.
  4. Las matrices de Pauli y de Dirac.
  5. El teorema de Frobenius.
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