El curso 2017-18 dirijo un trabajo de fin de grado. El material y las previsiones están aquí.
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Trabajo
Título provisional: La fórmula de sumación de Poisson: aplicaciones y generalizaciones.
Motivación y resumen:
La fórmula de sumación de Poisson es una identidad que se prueba de
manera muy sencilla en los cursos básicos de análisis de Fourier, sin
embargo en ellos no se atisba lo poderosa que resulta en algunos
problemas de áreas bien diferentes. Por otro lado, su extensión más
allá de su contexto original ha dado lugar a conspicuas
generalizaciones, siendo quizá una de las más notorias la fórmula de
traza de Selberg, que se aplica a superficies de Riemann. El rango de
aplicación de la fórmula de sumación de Poisson y sus generalizaciones
es amplio y en este trabajo se intenta ilustrar su extensión a través
de diversos ejemplos en temas bastante dispares.
Comentarios:
Los conocimientos previos pasan por haber tenido cierto contacto con el
análisis de Fourier. Las diferentes aplicaciones requieren adentrarse
en temas de otras áreas pero se pueden adquirir sobre la marcha los
conocimientos que sean necesarios.
Propuesta de temario: Toma este temario como una
propuesta inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre
la marcha varias veces.
- La fórmula básica
- Empaquetamiento de esferas
- La función de Riemann
- La ley de reciprocidad cuadrática
- Algunas aplicaciones físicas
- Unicidad y medidas cristalinas
- Los resultados de Selberg y de Duistermaat-Guillemin
Estado de las hojas:
Enlaces
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