Trabajos de Fin de Grado 2023-2024



Propuesta inicial y datos más concretos después de conocer las preferencias del estudiante.


Propuesta
La evaluación de algunas series de la teoría de números
En su versión básica, el trabajo consistirá en evaluar un valor especial de la función theta de Jacobi y probar una fórmula famosa de Ramanujan. Con este fin, aparecerán la fórmula límite de Kronecker y propiedades de las funciones zeta y Gamma. En su versión extendida, se estudiarán otras series y métodos de suma de la teoría de números.
  • Armitage, J. V.; Eberlein, W. F. Elliptic functions. London Mathematical Society Student Texts, 67. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
  • Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks Part III. Springer-Verlag, New York 1991.
  • Chamizo, F. A simple evaluation of a theta value, the Kronecker limit formula and a formula of Ramanujan. Ramanujan J. 59 (2022), no. 3, 947-954.
  • Stein, E. M. and Shakarchi, R. Complex analysis, volume 2 of Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Las funciones zeta y Gamma.
  2. La función theta de Jacobi.
  3. Algunas aplicaciones.
  4. La fórmula límite de Kronecker.
  5. Una fórmula de Ramanujan.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
RM23hoja1.pdf RM23hoja2.pdf RM23hoja3.pdf RM23hoja4.pdf RM23hoja5.pdf No disponible.pdf final
RM23hoja1.tex RM23hoja2.tex RM23hoja3.tex RM23hoja4.tex RM23hoja5.tex No disponible.tex final




Propuesta
El efecto Talbot en la teoría de la difracción
Inicialmente se estudiarán los modelos matemáticos que fundamentan la difracción. La parte central del trabajo consistirá en explicar el efecto Talbot (la autosemejanza de los patrones de difracción) explotando la relación con las sumas trigonométricas y algunos temas de teoría de números.
  • Berry, M. V.; Klein, S. Integer, fractional and fractal Talbot effects. J. Modern Opt. 43 (1996), no. 10, 2139-2164.
  • Born, M.; Wolf, E. Principles of optics: Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. Third revised edition Pergamon Press, Oxford-New York-Paris 1965.
  • Chamizo, F.; Santillán, O. P.; About the quantum Talbot effect on the sphere. J. Phys. A 56 (2023), no. 25, Paper No. 255302.
  • Olver, P. J. Dispersive quantization. Amer. Math. Monthly 117 (2010), no. 7, 599-610.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.
  2. Integrales de Fresnel y sumas de Gauss.
  3. El efecto Talbot clásico.
  4. Resurgimiento cuántico.
  5. Condiciones cuasiperiódicas.
Actualizado:
  1. La teoría matemática de la difracción.
  2. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.
  3. Las sumas de Gauss.
  4. El efecto Talbot clásico.
  5. Resurgimiento cuántico.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
PF23hoja1.pdf PF23hoja2.pdf PF23hoja3.pdf PF23hoja4.pdf PF23hoja5.pdf No disponible.pdf final
PF23hoja1.tex PF23hoja2.tex PF23hoja3.tex PF23hoja4.tex PF23hoja5.tex No disponible.tex final




Propuesta
Sumas de cuadrados y formas modulares
El propósito del trabajo es utilizar el problema de la representación de enteros como suma de cuadrados para adentrarse en algunos aspectos de la teoría de formas modulares. Se verán pruebas completas de las fórmulas para dos y cuatro cuadrados.
  • Chamizo, F. Una identidad de funciones elípticas sin funciones elípticas. https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/kiosk/files/ell_th.pdf.
  • Grosswald, E. Representations of integers as sums of squares. Springer-Verlag, New York, 1985.
  • Iwaniec, H. Topics in classical automorphic forms. Graduate Studies in Mathematics, 17. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.
  • Rankin, R. A. Modular forms and functions. Cambridge University Press, Cambridge-New York-Melbourne, 1977.
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. El grupo modular y algunos de sus subgrupos.
  2. Resultados básicos sobre formas modulares.
  3. La función theta.
  4. Sumas de 2 y 4 cuadrados.
  5. Acerca del caso general.
Actualizado:
  1. El grupo modular y algunos de sus subgrupos.
  2. Formas modulares: definición, ejemplos y dimensión.
  3. La función theta.
  4. Representaciones como suma de 2, 4 y 8 cuadrados.
  5. Acerca del caso general.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
ML23hoja1.pdf ML23hoja2.pdf ML23hoja3.pdf ML23hoja4.pdf ML23hoja5.pdf No disponible.pdf final
ML23hoja1.tex ML23hoja2.tex ML23hoja3.tex ML23hoja4.tex ML23hoja5.tex No disponible.tex final




Propuesta
Computación cuántica básica con álgebra lineal
Este es un acercamiento a la computación cuántica poniendo el énfasis en temas de álgebra lineal, en especial en matrices unitarias y productos tensoriales. Habrá también alguna incursión en la teoría cuántica básica que justifica el modelo.
  • Gudder, S. Quantum computation. Amer. Math. Monthly 110 (2003), no. 3, 181-201.
  • Nakahara, M.; Ohmi, T. Quantum computing. From linear algebra to physical realizations. CRC Press, Boca Raton, FL, 2008.
  • Nielsen, M. A.; Chuang, I. L. Quantum computation and quantum information. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
  • Rué, J.; Xambó, S. Mathematical essentials of quantum computing. Butl. Soc. Catalana Mat. 28 (2013), no. 2, 183-231, 234. https://web.mat.upc.edu/sebastia.xambo/QC/qc.pdf
    • .
Plan y seguimiento
Toma este temario como una sugerencia inicial muy preliminar que podemos cambiar sobre la marcha varias veces.
  1. Formalismo básico de la física cuántica.
  2. Qubits, entrelazamiento y teleportación.
  3. Circuitos y algoritmos cuánticos.
  4. El algoritmo de búsqueda de Grover.
  5. El algoritmo de Shor.
Hoja 1 Hoja 2 Hoja 3 Hoja 4 Hoja 5 Hoja 6 Final
CM23hoja1.pdf CM23hoja2.pdf CM23hoja3.pdf CM23hoja4.pdf CM23hoja5.pdf No disponible.pdf final
CM23hoja1.tex CM23hoja2.tex CM23hoja3.tex CM23hoja4.tex CM23hoja5.tex No disponible.tex final


nom3