Fundamentos de Análisis Matemático    (Máster en Matemáticas y Aplicaciones)

Descripción:

El curso ofrece una panorámica de las distintas áreas del Análisis Matemático (teoría de

funciones de variable real y compleja, teoría de operadores, análisis funcional, etc) ilustrando su

carácter básico y su interacción con otras áreas de las Matemáticas.

Programa

1. Medidas y espacios de Lebesgue.

2. Técnicas de variable real (aproximación, interpolación, función maximal, etc.)

3. Técnicas de variable compleja (factorización, funciones univalentes y familias normales)

4. Técnicas de análisis funcional (espacios de Hilbert y de Banach, dualidad, etc.)

5. El problema de Dirichlet (funciones armónicas y subarmónicas, método de Perron)

6. Ecuaciones integrales y elementos de la teoría espectral de operadores

7. Teoría de distribuciones y espacios de Sobolev

Metodología

Se pretende cubrir al menos dos tercios del material en las clases teóricas, dejando lo que resta para los trabajos finales de los alumnos. Estos trabajos, presentados por escrito, formarán parte de la evaluación, junto con la exposición oral durante una o dos horas, de parte del trabajo escrito. Estas exposiciones se realizarán en presencia del profesor y de todos los alumnos del curso, y habrá después preguntas por parte del profesor y los alumnos. Además de estas dos notas, la evaluación de cada alumno tendrá una parte práctica basada en las hojas de problemas que se repartirán cada semana. Cada alumno tendrá que entregar por escrito uno o dos problemas que se le asignarán de entre los de la hoja. Además, en las clases de problemas, los alumnos resolverán problemas en la pizarra, y estas actuaciones también contarán de cara a la calificación final.

Bibliografía:

L.V. Ahlfors. Complex Analysis, McGraw - Hill, Nueva York 1985.

C. Bennet y R. Sharpley. Interpolation of operators. Academic Press, 1988

J. Berg y J. Löfstrom. Interpolation spaces–An introduction. Springer–Verlag, 1976

J.B. Conway. A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, Nueva York 1985.

R. E. Edwards. Functional Analysis: Theory and applications. Dover, 1995.

L. C. Evans y R. F. Gariepy  Measure Theory and fine properties of functions CRC Press, 1992.

G. Folland Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York 1999.

J. García-Cuerva y J. L. Rubio de Francia. Weighted Norm Inequalities and related topics, North Holland, Amsterdam 1985.

P. D. Lax. Functional Analysis. John Wiley & sons, 2002.

E.H. Lieb y M. Loss Analysis, GSM 14, AMS, Providence, R.I. 2001.

W. Rudin Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, Nueva York 1987.

E. M. Stein, y R. Shakarchi,  Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2005.

Hojas de ejercicios:

Hoja 1, para entregar el 11 de octubre de 2006: PDF

Hoja 2, para entregar el 18 de octubre de 2006: PDF

Hoja 3, para entregar el 25 de octubre de 2006: PDF

Hoja 4, para entregar el 8 de noviembre de 2006: PDF

Hoja 5, para entregar el 20 de noviembre de 2006: PDF

 

 


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