Geometría y topología 2016/2017


aviso

Aviso:

Importante: El tercer parcial se aplaza al martes 16.
La última hoja ya está disponible.
Se ha propuesto un tercer problema especial voluntario.
Las calificaciones de los problemas especiales y de salir a la pizarra, están en Moodle.
Se ha colgado la solución de los ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10 de la hoja 3 en la sección de ejercicios.
Las calificaciones del segundo parcial están en Moodle.


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temario

Temario

El curso incluye temas de geometría Riemanniana con algunas incursiones en la topología diferencial. Si en la encuesta del primer día no hay una gran oposición a ello, la idea es  ilustrar algunos de los resultados con ejemplos y aplicaciones a la física. No se supone ningún conocimiento previo en esta área.

Los siguientes contenidos son aproximados y puedes sufrir ligeras variaciones, sobre todo después de lo que discutamos el primer día.
  • Tensores. Tensores en Rn. Tensores en variedades.
  • Geometría Riemanniana. Métricas, geodésicas y su significado mecánico. Cálculo tensorial. El tensor de curvatura.
  • Topología diferencial. Formas diferenciales. Cohomología de de Rham. Curvatura y topología.
  • Aplicaciones a la relatividad general. Métrica de Schwarzschild. Ecuaciones de campo.

El horario de las clases es lunes, martes y jueves de 13:30 a 14:30 en el aula 01.12.AU.405.
En la página de la facultad está el horario detallado.
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apuntes

Apuntes y bibliografía


Gran parte del temario está incluido en los apuntes de Geometría IV. Ocasionalmente se pondrá en esta web algún otro material.

Por si algún estudiante no puede asistir a alguna clase, se intentarán  reflejar los contenidos diarios aquí.

Uno de los estudiantes está escribiendo en LaTeX los apuntes que toma de las clases e incluye soluciones de algunos ejercicios. Seguro que son muy útiles para el resto de los compañeros. ¡Muchas gracias!

Por si alguien quiere ampliar conocimientos, algunos buenos textos  relacionados con el curso son:
  • do Carmo, M. P. Riemannian geometry.  Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
  • Novikov, S. P. and Taimanov, A. I. Modern Geometric Structures and Fields. Graduate Studies in Mathematics, vol. 71 AMS, 2006.
  • Boothby, W. M. An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1986.
  • Singer, I. M.; Thorpe, J. A. Lecture notes on elementary topology and geometry. Reprint of the 1967 edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976.
  • Frankel, T. The geometry of physics. An introduction. Third edition. Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
  • O'Neill, B. Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc., New York, 1983.
De todos ellos hay ejemplares en la biblioteca de Ciencias.

Material complementario
Bases de geometría diferencial. Una introducción informal y con referencia a la mecánica sobre todo para los que no hayan seguido el curso de Geometría Diferencial.
Imagen y programa SAGE de variaciones del minimizante para L=1+(t\dot{q})^2 en el ejemplo  de clase. Los números indican el valor de la integral.
Geometría y mecánica. Breves comentarios y ejemplos alrededor de métricas, geodésicas y mecánica. Tomado de los apuntes de un curso de máster.
Conexiones. Unas observaciones mínimas sobre conexiones afines tomadas de unos apuntes para un curso algo más avanzado que el actual.
Teorías gauge en física. Motivación del uso de conexiones (derivadas covariantes) para crear lagrangianos de interacción. Posiblemente es difícil de leer sin conocimientos previos de física.


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ejercicios

Ejercicios

Las siguientes hojas de problemas estarán formadas en su mayoría por ejercicios de Geometría IV.

Hojas de problemas
Hoja 1
Hoja 2
 Hoja 3
 Hoja 4
Problema especial 1 (hasta el 16 de marzo) solución
Problema especial 2 (hasta el 4 de mayo)
Problema especial 3 (hasta el día del examen final ordinario)

Hoja 1: Como alguien me ha hecho notar, la redacción original del 9) sugería lo contrario de lo que quería preguntar debido a mi redacción deficiente. La he actualizado. Siento las molestias.

Acerca de algunos problemas
H1-9). Para la relación con la teleportación cuántica, explicada de manera sencilla, véase la sección 2 de estos apuntes. Dependiendo de los conocimientos previos de física puede ser necesario leer también la sección 1.
H2-6). Dos vistas con K3DSurf de la solución del problema: v1.png, v2.png. Cálculo del área en función de la separación de los círculos con un programa SAGE y gráfica resultante.
H2-10) Solución breve del problema.
H3. Solución de los ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10.



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examenes

Exámenes


Fecha del examen final: Consúltese la convocatoria oficial

Habrá tres exámenes parciales que se realizarán en la hora de clase. Con plazo suficiente se indicarán los contenidos que entran en cada uno. Las fechas previstas son:

Parcial 1
 Parcial 2
 Parcial 3
28 de febrero
enunciado
soluciones
 4 de abril
enunciado
soluciones
 16 de mayo
enunciado
soluciones

Temario para el primer parcial: Hasta la clase del 20 de febrero incluida. La clase del 27 de febrero la dedicaremos a dudas.
Temario para el segundo parcial: Hasta la clase del 28 de marzo incluida (sin el tensor de curvatura). La clase del 3 de abril la dedicaremos a dudas.

Los que consigan una media en los parciales mayor o igual que cinco estarán aprobados por curso.  El examen final está destinado a los que no hayan aprobado por parciales o quieran subir nota.

examen final ordinario.

Alguna actividad complementaria voluntaria, como la entrega o exposición de algún problema se añadirá a la calificación en su caso. Aclaración (26/04/2017): se entiende que para la condición de media mayor que cinco se incluyen estas actividades. Por ejemplo, alguien que en los parciales tenga 4.5, 4.5, 4.5 y 0.6 de actividades complementarias, está aprobado.


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enlaces

Enlaces

Generales:
De la asignatura:



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Contenidos de las clases



Date
 Content
30/ene/2017
 Plan del curso. Encuesta anónima. Definición de tensor covariante en el espacio euclídeo.
31/ene/2017
 Tensores de tipo (r,s). Ejemplos. Componentes de un tensor. Convenio de Einstein.
2/feb/2017
 Algunos ejemplos de tensores. Producto tensorial. Ideas básicas sobre el concepto de variedad.
6/feb/2017
 Ejercicios de la hoja 1.
7/feb/2017
 Sigue el repaso de la idea básica de variedad de dimensión n.  Derivada de una función a R.
9/feb/2017
 Definición de vector tangente, espacio tangente, espacio cotangente. Funciones entre variedades y aplicación tangente.
13/feb/2017
 Tensores en una variedad. Ley de transformación bajo cambios de carta. Métricas.
14/feb/2017
 Pullback. Métrica inducida. Comenzamos geometría riemanniana. Resultado básico de cálculo de variaciones.
16/feb/2017
 Ejercicios de las hoja 1 y 2.
20/feb/2017
 Ejemplos de cálculo de variaciones. Conservación de la energía.
21/feb/2017
 Invariancia de los problemas de cálculo de variaciones por cambios de coordenadas. El cálculo de variaciones en mecánica.
23/feb/2017
 Problemas de la hoja 2 (da la clase Adrián Ubis).
27/feb/2017
 Clase de dudas.
28/feb/2017
 Primer parcial.
2/mar/2017
 La partícula libre y la métrica inducida en R^3. Definición variacional de las geodésicas en una variedad.
6/mar/2017
 Ejemplos del cálculo de las ecuaciones diferenciales de geodésicas.
7/mar/2017
 Símbolos de Christoffel. Longitud de arco. Comentarios acerca de relatividad general.
9/mar/2017
 [el aula estaba cerrada]
13/mar/2017
 Problemas de la hoja 2
14/mar/2017
 Motivación y definición de conexión afín.
16/mar/2017
 Derivada covariante a lo largo de una curva. Transporte paralelo. Conexión compatible con una métrica.
21/mar/2017
 Compatibilidad con la métrica y derivada covariante. Conexiones simétricas.
23/mar/2017
 Existencia y unicidad de la conexión de Levi-Civita (simétrica y compatible con la métrica). Definición del tensor de curvatura o tensor de Riemann.
27/mar/2017
 Problemas de las hojas 2 y 3.
28/mar/2017
 Extensión de la definición de la derivada covariante a tensores generales.
30/mar/2017
 Ejercicios de la hoja 3.
3/abr/2017
 Ejercicios de la hoja 3 y dudas.
4/abr/2017 Segundo parcial
6/abr/2017
 Propiedades del tensor de curvatura (simetrías). Tensor de Ricci.
18/abr/2017
 Repaso del tensor de curvatura. Formas diferenciales. Relación con los determinantes.
20/abr/2017
 Derivada exterior. Operadores diferenciales clásicos.
24/abr/2017 Ejercicios de la hoja 2
25/abr/2017
 Ejercicios de la hoja 2. Variedades orientables. Variedades con borde. Teorema de Stokes.
27/abr/2017
 Aplicaciones topológicas: teorema del punto fijo de Brouwer, invariancia por homotopías,  teorema de la aplicación antipodal, teorema de la bola de pelo. El tensor de Riemann y las formas diferenciales.
4/may/2017
 Ejercicios de la hoja 4.
8/may/2017
 Dudas y ejercicios de la hoja 4.
9/may/2017
 Ejercicios de la hoja 4.
11/may/2017
 Dudas. Ejemplo de cálculo del tensor de Riemann con formas diferenciales.
16/may/2017
 Tercer parcial