Seminario de Análisis y Aplicaciones UAM-ICMAT 2022

In two papers in the 90's, Z. Shen studied non-asymptotic bounds for the eigenvalue counting function of the magnetic Schrödinger operator in a few settings. But in dimensions 3 or above, his methods required a strong scale-invariant assumption on the gradient of the magnetic field; in particular, this excludes many singular or irregular magnetic fields, and the questions of treating these later cases had remained open. This strong assumption on the gradient of the magnetic field has appeared also in the harmonic analysis related to the magnetic Schrödinger operator. In this talk, we present our solutions to these questions, and other new results on the exponential decay of solutions (eigenfunctions, integral kernels, resolvents) to Schrödinger operators. We will introduce the Filoche-Mayboroda landcape function for the (non-magnetic) Schrödinger operator, present its pointwise equivalence to the classical Fefferman-Phong-Shen maximal function (also known as the critical radius function in harmonic analysis literature), and then show how one may use directionality assumptions on the magnetic field to construct a new landscape function in the magnetic case. We solve Shen's problems (and recover other results in the irregular setting) by putting these observations together.

Dirac operators defined on domains of the Euclidean space are used in relativistic quantum mechanics to describe particles that are confined in a bag. A remarkable example in dimension 3 is the MIT bag operator, used to model confinement of quarks in hadrons, and a fundamental topic in mathematical physics concerns the analysis of the spectral gap and its associated shape optimization problem. This consists on minimizing the first squared eigenvalue among all domains with prescribed volume, and it is conjectured that the ball is the optimal domain. In this talk I will describe a recent work - in collaboration with N. Arrizabalaga, A. Mas, and L. Vega - in which we propose a new approach towards this open problem. We have studied a family of Dirac operators \(\mathcal{H}_\tau\) acting on domains of \(\mathbb{R}^3\) and with boundary conditions, parametrized by a real parameter \(\tau\). This family contains the MIT bag operator (when \(\tau = 0\)), while some well-known operators arise in the limits as \(\tau \to \pm \infty\). We parametrize the spectrum of the family \(\{\mathcal{H}_\tau\}_{\tau \in \mathbb{R}\) through a collection of increasing smooth curves, and thanks to this we manage to establish (for large values of the parameter) the optimality of the ball for the shape optimization problem involving \(\mathcal{H}_\tau\). This is expected to hold for all the parametrization and thus solve the open problem for \(\tau = 0\).

La transformada de Hilbert es un ejemplo clásico de multiplicador de Fourier. Aunque su acotación en espacios \(L^p\) es típicamente presentada a través de la teoría de integrales singulares, un argumento debido a Cotlar permite probarla a traves una fórmula recursiva, obteniendo así la acotación para \(p = 2^k\) a partir de la acotación para \(p = 2^{k−1}\). Los objetos con los que trataremos en esta charla serán multiplicadores de Fourier sobre álgebras de grupos no necesariamente conmutativos. En este contexto, daremos una caracterización cerrada de la fórmula de Cotlar y demostraremos que se cumple para un modelo natural de multiplicadores dados por acciones del grupo en un órbol, o alguna estructura similar a un árbol. Como ejemplos obtenemos acotación de transformadas de Hilbert en grupos ordenables por la izquierda y grupos de grafos. En el caso de grupos ordenables por la izquierda, una versión iterada de la transformada de Cotlar también se satisface. Esta versión iterada es aparentemente desconocida en el contexto clásico y permite relajar la constante en términos de \(p\).

Los problemas de transmisión fueron introducidos por Mauro Picone en los años 60s en el contexto de elasticidad. A partir de ahí surgieron otras aplicaciones a problemas de reflexión y difracción de la luz, medios porosos, superficies mínimas y dinámica atmosférica, entre muchos otros. Presentaremos resultados de regularidad óptima para soluciones de problemas de transmisión elípticos dados por la ecuación de Laplace y por ecuaciones completamente no lineales. Estos son trabajos conjuntos con Luis Caffarelli (UT Austin) y nuestra estudiante de doctorado María Soria-Carro (UT Austin).

Los espacios de funciones continuas reales en compactos, o espacios \(C(K)\), ocupan un lugar central en la teoría de los espacios de Banach. Recientemente, varios problemas estructurales relacionados con espacios \(C(K)\) se han resuelto combinando las técnicas del análisis funcional con herramientas topológicas y del álgebra homológica. En esta charla nos centraremos en dos: la construcción de una suma torcida de \(c_0\) y \(c_0(\mathfrak{c})\) que no sea isomorfa a ningún \(C(K)\), y la obtención de un subespacio complementado de un \(C(K)\) que no sea isomorfo a ningún \(C(K)\). El punto común de ambas construcciones se encuentra en los llamados compactos de Aleksandrov-Urysohn, los cuales también constituyen el ejemplo paradigmático de suma torcida de \(c_0\) con \(c_0(I)\). Recordemos que \(Z\) es una suma torcida de dos espacios de Banach \(X\) e \(Y\) cuando \(Z\) contiene un subespacio cerrado isomorfo a \(Y\) de manera que \(Z/Y\) es isomorfo a \(X\). Este trabajo se ha realizado de manera conjunta con Jesús M. F. Castillo y Félix Cabello (Universidad de Extremadura) y con Grzegorz Plebanek (Universidad de Wrocław).