Conformal geometry is the study of invariants which are preserved under ”angle preserving” or ”conformal” maps. In this talk, we will describe some PDE approach to the study of a class of integral conformal invariants. Start with the integral of Gauss curvature on compact surfaces, we will continue on the study of a class of integral conformal invariants on 4-manifolds with applications to the study of topology and diffeomorphism type of the class. I will describe the relevance of a 4-th order linear operator with leading symbol the bi-Laplace operator (part of the family of GJMS operator) in the study of prescribing the Gauss-Bonnet integrand on 4-manifolds under conformal change of metrics. The talk will be expository in nature with self-contained background materials.

Much recent work has been devoted to the metric properties of large random graphs drawn on the two-dimensional sphere, which are also called random planar maps. Starting from a triangulation of the sphere with a given number of faces (triangles) and chosen uniformly at random, one considers the metric space consisting of the vertex set of this triangulation equipped with the graph distance. When the size of the triangulation tends to infinity, this suitably rescaled random metric space converges in distribution, in the Gromov-Hausdorff sense, to a random compact metric space called the Brownian sphere (or Brownian map). We will survey recent results showing that the Brownian sphere is indeed a universal model of random geometry in two dimensions. If time permits, we will also introduce related models such as the Brownian disk and the Brownian plane, and we will discuss their connections with the Brownian sphere.

Jean-François Le Gall es un matemático francés que trabaja en probabilidad y procesos estocásticos. Se doctoró en 1982 en la Escuela Normal Superior de Paris. Ha desarrollado su carrera principalmente en Francia, con puestos en el CRNS, la escuela normal de Paris y actualmente es profesor en la University Paris-Sud. Entre los muchos honores y distinciones, destacar que es miembro de la academia de ciencias francesa desde 2013, ponente plenario en el ICM 2014, ganador de los premios Loève (1997), Fermat (2005), medalla de plata del CNRS (2019) o el recientemente el premio Wolf (2019). Desde 2017 es investigador principal del proyecto ERC Advanced Grant GeoBrown. Ha dirigido más de 15 tesis doctorales, destacando al medallista Fields Wendelin Werner.

Le Gall ha hecho varias contribuciones importantes y profundas a la teoría de procesos estocásticos. Sus técnicas para analizar la propiedades de los movimientos Brownianos le permitieron resolver diferentes problemas, destacando una caracterización de los conjuntos que son visitados varias veces y la entendiendo el comportamiento en la vecindad del conjunto.Le Gall introdujo el concepto de serpiente Browniana con numerosas aplicaciones al estudio de EDP no lineales. Sus trabajos sobre la serpiente Browniana. revolucionaron la teoría de super procesos, una generalización de procesos de Markov. En su estudio de la gravedad cuántica 2D estableció la convergencia de funciones uniformemente planas a cierta función canónica caracterizando propiedades topológicas de su solución.

Endowed with a differential factor, the concept of automorphic form generalizes that of periodic function. Automorphic forms are present in almost every area of modern number theory and there is a widespread belief that all relevant L-functions occurring in arithmetic algebraic geometry should be automorphic. The talk will focus on automorphic forms and will show some of the links discovered between arithmetic and analysis, in order to acquire a better understanding of ``numbers''.

I will present an overview of the wide variety of applications of topology to neuroscience that my group has worked on over the past few years, including classification of neuron morphologies and structural and functional connectomics and network plasticity. This work has been carried out in collaboration with the Blue Brain Project at the EPFL.

La matemática Kathryn Hess, se doctoró en el MIT cuando sólamente tenía 21 años. Ha sido investigadora postdoctoral en las universidad de Estocolmo, Niza, Toronto y en 1999 empezó a trabajar en la EPFL en la que actualmente ocupa el puesto de directora del Laboratorio para la topología y la neurociencia de la EPFL. Kathryn Hess es conocida por sus contribuciones a homotopía, teoría de categorías y topología algebraica. Su laboratorio destaca por usar métodos de la topología algebraica en campos como la neurociencia o el estudio del cancer.

Entre otros honores, en 2017, Katrhyn Hess fue nombrada Fellow of the American Mathematical Society por sus “contribuciones a la teoría de la homotopía, aplicaciones de la topológia al analisis de datos biologicos y sus servicios a la comunidad matemática.” También en 2017, recibió el primo de "Distinguished Speaker of the European Mathematical Society." Entre sus contribuciones a la comunidad hay que destacar el programa "Cours Euler" que empezó en Lausana en 2008. Este es un programa para desarrollar las capacidades matemáticas de niños y niñas de gran talento, y ha organizado numerosas actividades para promover la presencia de las mujeres en matemáticas, organizando conferencias (Women in Topology I, II at Banff International Research Station, Canada ) y creando redes de colaboración.

Su laboratorio colabora con el Blue Brain Project, un ambicioso proyecto financiado por el gobierno suizo y el programa "Future and Emerging Technologies" de la comisión Europea, que tiene como objetivo estudiar la estructura del cerebro de mamíferos creando una simulación de todo el cerebro a nivel molecular. El Blue Brain Project nació como un proyecto suizo, pero hoy en día tiene colaboradores internacionales y destacando el Cajal Blue Project (UPM-CSIC). El laboratorio de Hess colabora con este proyecto, las conexiones entre neuronas forman una estructura increíblemente rica, y que está relacionada con las funciones del cerebro. Una de las ideas para lidiar con esta complejidades usar la topología algebraica para dar una descripción cualitativa de las conexiones neuronales y estudiar la correlación entre forma y respuestas a los estímulos. En el coloquio la profesora Hess nos explicará entre otras cosas, sus contribuciones a este ambicioso proyecto.

A classical problem going back to ancient Greece is to find the shortest curve in the plane enclosing a given area: the isoperimetric problem. A similar question is whether given a curve on a surface it can be deformed to a shortest one. Whilst the solutions to these classical problems are well-known, natural generalisations in higher dimensions are mostly unsolved. I will explain how this leads us to the study of minimal Lagrangians and the question of how to find them, which will take us to the interface between symplectic topology, Riemannian geometry and analysis of nonlinear PDEs, with links to theoretical physics.