El control de fluidos (“flow control”) es uno de los temas centrales de la teoría del control moderna por su gran repercusión en infinidad de aplicaciones relevantes como la aeronáutica, el sistema cardiovascular humano, la irrigación, etc. Los modelos más relevantes en torno a los cuales estas cuestiones se plantean son los clásicos de la Mecánica de Fluidos: las ecuaciones de Euler, de Navier-Stokes,… Muchas de las cuestiones más básicas están hoy aún fuera de nuestro alcance pues, como es sabido, ni siquiera se dispone de una teoría adecuada de existencia y unicidad de soluciones para estos complejos sistemas en situaciones realistas. A pesar de ello la práctica ha de seguir adelante, combinando la comprensión matemática de algunos modelos más sencillos, las técnicas modernas del control y la simulación numérica. En esta charla, evitando tecnicismos innecesarios, y centrándonos esencialmente en la ecuación de Burgers como “modelo de juguete” para la propagación de ondas no-lineales, presentaremos algunos de los problemas más relevantes que surgen, en particular, en el ámbito del diseño de aeronaves, y formularemos algunos de los problemas matemáticos a los que esto conduce. Veremos posteriormente cómo estos se traducen y transforman en el ámbito de la computación y daremos algunas recetas que pueden ser de utilidad, muy en particular, en el caso de configuraciones singulares, en torno a las cuales la sensibilidad con respecto a las variaciones del diseño aumenta enormemente y los modos clásicos de proceder dejar de ser efectivos.

Febrero 2008:   El "outsider" de la teoría de los números -vida y obra de Kurt Heegner. Norbert Schappacher

Kurt Heegner (1893 - 1965) vivió en Berlín y se ganó la vida  trabajando como autónomo para algunas grandes empresas alemanes en el  desarrollo de un nuevo tipo de válvulas para radios, sobre todo en  los años 1920. Tuvo varias patentes a su nombre. Pero después de los  años 1930, estuvo trabajando - en casa y esencialmente aislado de la  comunidad matemática - sobre algunas cuestiones de la teoría de los  números y de las formas modulares. Logró publicar artículos en  <<Mathematische Zeitschrift>> y en <<Crelle’s Journal>>. En 1952 resolvió una conjetura de Gauss, inventando un método que continúa  siendo uno de los más fuertes hoy conocidos en la aritmética de las  curvas elípticas. Pero su demostración no fue aceptada por la  comunidad matemática hasta después de su muerte.

Mayo 2007:   Curves and Cryptography. Steven Galbraith

This talk will present a survey of the applications of algebraic geometry in public key cryptography. Some basic principles of the discrete logarithm problem and the Diffie-Hellman protocol will be described. Then I will explain how elliptic curves over finite fields can be used in this setting. Finally, I will discuss how to obtain a finite group from a hyperelliptic curve over a finite field, and discuss some possible advantages from using hyperelliptic curves for cryptography.

Febrero 2007:   Primes and orbits. Peter Sarnak

The search for primes satisfying constraints, for example Dirichlet's Theorem on primes in progressions or the Hardy Littlewood k-tuple conjecture, has been primarily restricted to actions on $Z^n$ by translations.We will review some of these and some recent developments which allow for linear actions on $Z^n$. Some interesting new tools from combinatorics (expander graphs associated with such actions) are needed to sieve in this linear context.We give applications of the theory to concrete ancient problems such as divisibility of areas of
pythagorean triangles.

Enero 2007:   Combinatoria enumerativa, probabilidad y análisis complejo. Marc Noy

Las técnicas modernas de enumeración combinatoria se basan en el uso sistemático de series de potencias. En primer lugar, el llamado método simbólico permite traducir directamente las descomposiciones combinatorias en ecuaciones funcionales (y diferenciales) entre las series de potencias asociadas. A continuación, el análisis de singularidades permite, al considerar las series como funciones de variable compleja, obtener estimaciones asintóticas muy precisas de sus coeficientes. Finalmente, el uso de series con más de una variable permite a menudo obtener leyes límite de probabilidad de parámetros combinatorios. En la charla se expondrán los principios generales de este enfoque y se ilustrarán con la reciente solución del problena de contar grafos planos.

Diciembre 2006:   Programación lineal semi-infinita Miguel Ángel Goberna

La Programación Lineal Semi-infinita (PLSI) se ocupa de los problemas de optimización lineal en los que el número de restricciones o el de variables (pero no ambos) es infinito. El primer problema conocido de este tipo fue estudiado por George Dantzig en 1939, pero el nombre y el estudio sistemático de la PLSI proviene de una serie de artículos de Charnes, Cooper y Kortanek publicados en los años 60. La charla comienza con la exposición detallada de un par de aplicaciones clásicas y la mención de algunas otras aplicaciones recientes. A continuación se expondrán los resultados teóricos clave, a saber, existencia de soluciones, Lema de Farkas y dualidad de Haar. Acabaremos con un esbozo de la extensión de estos resultados a programación infinita convexa.

Noviembre 2006:   Descomposición de politopos Francisco Santos

Octubre 2006:   Boundary behavior of functions approximable by polynomials Alexandru Aleman

Abstract

Septiembre 2006:   Metric space inversions Stephen M. Buckley

Abstract

Mayo 2006:   Fitting a smooth surface to data Charles Fefferman

Suppose $m, n ,N$ are given integers, with $m, n$ fixed and $N$ large. Given $N$ points in $R^(n+1)$, how can one compute a function $F$ on $R^n$, whose graph passes through (or near to) all (or nearly all) of the $N$ given points, with the $C^m$ norm of $F$ nearly as small as possible? Joint work with Bo'az Klartag.

Mayo 2006:   Plates, shells and numerical headaches Franco Brezzi

Diciembre 2005:   Y después, ¿qué? Juan Manuel Gómez, Manuel Menéndez, Adela Recio, Fernando Soria

Tres licenciados en Matemáticas por la UAM nos cuentan sus experiencias profesionales y un profesor del Departamento nos presenta el posgrado en Matemáticas.

Septiembre 2005:   Rectifiability in Euclidean and metric spaces. Pertti Mattila

Rectifiable "surfaces" (sets, measures, currents, varifolds) in Euclidean spaces form in many ways an essentially largest possible class of surfaces including smooth surfaces and having their main geometric porperties, often interpreted in a generalized sense. They are very central in geometric measure theory and they are useful, for example, in calculus of variations because of strong compactness properties. In Euclidean spaces they can be defined in many natural and equivalent ways. Recently there has been interest for looking generalizations to metric spaces, both to very general metric spaces and spaces with special non-Euclidean structure such as the Heisenberg groups. Then many new problems arise and it is not even always clear what should be the proper definitions. The talk will be a survey on part of such developments.

Junio 2005:   Problems and results in additive number theory. Melvyn M. Nathanson

This talk is intended to be a survey for mathematicians and graduate students who are not specialists in number theory. It will review both classical and recent theorems, and describe some important but simply stated unsolved problems that are now attracting much attention, such as Green and Tao on primes in arithmetic progressions.

Junio 2005:   El problema de la consistencia de las teorías matemáticas tomado al fin en serio: El “Programa de Hilbert". Mariano Martínez Pérez

Hacia 1900, el importante problema de la consistencia de una teoría matemática solo había tenido soluciones "absolutas" en casos más o menos triviales, con perdón (modelos finitos o consistencia relativa). El problema general fue planteado por Hilbert en su "Programa" que desgraciadamente (¿o afortunadamente?) fracasó, como demostró Gödel en su 2º Teorema de Incompletitud (1931). Entonces, ¿qué nos queda?

Mayo 2005:   Numerical Methods for some Fully Nonlinear Elliptic Equations. R. Glowinski

The main goal of this presentation is to discuss the numerical solution of fully nonlinear elliptic equations (in the sense of Caffarelli-Cabré), a prototypical one being the celebrated Monge-Ampère equation
$$
\det D^2 \psi = f \mbox{in $Omega$,} (MA-E)
$$
completed by boundary conditions (such as Dirichlet’s). In (MA-E), $D^2 \psi$ denotes the Hessian of the unknown function $\psi$. In order to solve (MA-E), and related equations, we advocate a least squares method, in an appropriate Hilbert space; combined with mixed finite element approximations and preconditioned conjugate gradient algorithms, this approach reduces the solution of the above problems to the solution of a sequence of Poisson problems and of small dimension nonlinear problems (one per grid point, typically). Incidentally, our approach provides an alternative to viscosity solutions. The results of numerical experiments will be presented; they concern, among other problems, the solution of (MA-E) and of the following Pucci’s equation
$$
\alpha +\lambda^{+} + \lambda^{-} = 0 \mbox{in $Omega$} (P-E)
$$
where, in (P-E),$\alpha\in (1, +\infty)$ and $\lambda^{+}$ (resp., $\lambda^{-}$) is the largest (resp., the smallest) eigenvalue of $D^2 \psi$.

Abril 2005:   ¿Qué pinta un equipo de matemáticos, físicos e ingenieros brillantes en un banco? Robert Smith

Puede quizás sorprender que todos los bancos de inversión cuenten con equipos numerosos de matemáticos, físicos e ingenieros, muchos de ellos sin ninguna formación previa de finanzas. El caso es que el concepto de "dinero" se ha abstraído mucho más allá de las tarjetas de crédito y las hipotecas. En esta charla mostraremos parte de la teoría matemática que hay detrás de las aplicaciones financieras y explicaremos por qué habilidades de cálculo estocástico, EDPs y programación orientada a objetos han llegado a ser tan cotizadas en los bancos.

Presentación en pdf

Marzo 2005:   Non-collision singularities in the n-body problem. Joseph Gerver

The n-body problem is concerned with the motion of point masses in the plane or 3-dimensional space, under the influence of Newtonian (inverse squared) gravitation. If two or more bodies collide, then the forces between them approach infinity as the distance approaches zero, so the equations of motion cannot be solved beyond the time of collision. We say that the solution has a singularity. More than a hundred years ago, Poincaré asked whether there are solutions of the n-body problem which have a singularity without a collision. For example, the bodies might move infinitely far apart in a finite time, or oscillate wildly, like the function sin(1/t). (Of course Poincaré assumed Newton´s laws of mechanics, where the velocity can approach infinity, rather than relativity, where one is limited by the speed of light, and we make the same assumption throughout this talk.) In 1897, Painlevé showed that this cannot happen with 3 (or fewer) bodies, but much later, in 1988, Xia proved that such solutions do exist when n=5. We will look at Xia´s solution, and also at a possible solution of my own (not yet proved) for n=4, the only remaining open case.

Febrero 2005:   Curvas en la Historia. Antonio Pérez Sanz

Euclides condenó a los geómetras a vivir en un mundo de rectas, círculos y planos. Por suerte a lo largo de la historia muchos matemáticos nos han hecho observar que la naturaleza está plagada de líneas y superficies curvas, que lo realmente difícil es encontrar, fuera de las creaciones artificiales del ser humano, rectas y planos. Desgraciadamente, los currículos de enseñanza secundaria, como Euclides, parecen empeñados en limitar las experiencias geométricas de los alumnos a un mundo plano.

Realizaremos una excursión audiovisual por las curvas más famosas, círculos, cónicas, espirales... analizando su aparición y su aplicación en modelos geométricos de fenómenos naturales; bucearemos en el mar de las curvas mecánicas acercándonos a algunos de sus ejemplares más frecuentes y a las que han representado auténticos retos históricos; veremos, a través de herramientas informáticas, el potencial de algunas de estas curvas para modelar formas en el mundo vegetal; y terminaremos asomándonos a la ventana de los fenómenos caóticos y a la geometría fractal como herramienta para su interpretación.

Octubre 2004:   Ondas aleatorias: un compromiso entre determinismo y azar. Marta Sanz Solé

La modelización mediante EDPs estocásticas permite un buen análisis de gran variedad de fenómenos evolutivos. Una de las cuestiones básicas que se plantean es encontrar el equilibrio adecuado entre la irregularidad de la componente estocástica y las singularidades del operador diferencial para poder obtener soluciones reales y, a la vez, poder determinar con precisión el espacio funcional en el que viven las trayectorias del proceso.

Discutiremos de forma divulgativa cómo abordar estas cuestiones sobre un ejemplo de EDP estocástica que incluye la popular ecuación de ondas. Presentaremos también algunos resultados recientes sobre regularidad óptima de las soluciones y alguna aplicación.

Las técnicas matemáticas combinan elementos de EDPs, análisis armónico y análisis estocástico.

Septiembre 2004:   Ramsey Theory -old and new. Jaroslav Nesetril

The Ramsey theory is one of the core areas of combinatorics with applications and relevance to Number theory, Algebra, Logic, Geometry and even Analysis and theoretical Computer Science. The purpose of this expository talk is to survey some recent development of the Ramsey theory in its historical perspective. No previous knowledge of the theory is necessary.

Mayo 2004:   Interplay between Analysis and Topology. S. Ramanan

Abril 2004:   Todo lo que usted quiso saber sobre los mapas (y nunca se atrevió a preguntar). Raúl Ibáñez

Según podemos leer en cualquier diccionario,

Mapa (del latín mappa, mantel): Representación de una parte o de la totalidad de la superficie terrestre o de otros planetas, cielo estrellado, cuerpos, etc., sobre una superficie plana.

Pero no necesitamos acudir al diccionario para saber qué es un mapa. Los mapas son objetos familiares para nosotros. Los mapas pertenecen a nuestra vida cotidiana, nos los encontramos todos los días, desde que nos levantamos por la mañana hasta que nos acostamos, tanto en nuestro entorno laboral como en el privado. Cuando leemos el periódico o vemos un noticiario en la televisión nos encontramos con infinidad de mapas. Si vemos algún programa documental, ya sea de naturaleza, historia, geografía, economía u otro tema, o si leemos un libro o revista especializados en alguno de los anteriores tópicos, nos encontraremos mapas explicativos que nos ayudan a comprender la información, a ubicar los diferentes datos en su lugar. Por supuesto, también nos encontramos mapas en las películas que vemos o en los libros de ciencia ficción que leemos. Cuando vamos a organizar nuestras vacaciones nos aprovisionamos de unos cuantos mapas. De igual forma, cuando realizamos un viaje en coche necesitamos un mapa de carreteras, o si paseamos por una nueva ciudad necesitamos un mapa-callejero. Pero también nos encontramos con los mapas en nuestra vida laboral. Prácticamente todos los trabajos tienen asociada en mayor o menos medida la utilización de mapas. Mapas para la navegación marítima o aérea, mapas políticos, mapas urbanos, mapas de comunicaciones (ferrocarril, carretera,...), mapas topográficos, mapas morfológicos, mapas científicos de diferentes clases (botánicos, geológicos, climatológicos, geográficos,...), mapas económicos y estadísticos, mapas artísticos utilizados para los anuncios publicitarios o para el turismo, mapas catastrales que representan las parcelas de los diferentes propietarios, con cultivos...

Pero, ¿realmente sabemos qué es un mapa? ¿Por qué hay tantos mapas?, ¿cuál es el correcto? ¿Cómo dibujar correctamente un mapa de la tierra? ¿Son las imágenes aéreas o por satélite mapas correctos? ¿Qué significa correctamente?

Noviembre 2003:   El lema de la fase estacionaria en el Banco de España. Luis Á. Seco

Los trabajos de los economistas de las últimas décadas han hecho que la gestión financiera, que tradicionalmente era una actividad  especulativa, se convierta en Matematicas. La gestión del riesgo, puesta en práctica por los organismos reguladores, se convierte en el mecanismo de observación de la industria bancaria. En esta charla se repasará la historia reciente desde la perspectiva de la industria, para pasar luego a encontrar formulaciones matemáticas de los problemas básicos. El enfoque estará basado en la utilización del método de la fase estacionaria para aproximar medidas de riesgo.

Octubre 2003:   Difusiones y medios porosos; fronteras libres y leyes asintóticas. La herencia no lineal de Fourier y Markov. Juan Luis Vázquez

En esta charla introduciremos primero el mundo de la difusión lineal como contraposición a la clásica ecuación del calor, a partir de los modelos de la Física. Se verá que al lado de notables analogías, como la generación de semigrupos en los más típicos espacios funcionales, aparecen fenómenos completamente diferentes, como la existencia de fronteras libres.
En la segunda parte, se discutirán algunos de los resultados analíticos que hemos obtenido, incluyendo algunos recientes. Los temas son (i) existencia para datos generales, (ii) posibilidades de no unicidad, (iii) regularidad de las soluciones y sus interfases y (iv) las famosas leyes asintóticas no lineales. Los métodos combinan estimaciones, análisis funcional y también geometría.
Comentario pensando en Jacobi: ¿una cuestión sobre análisis vale tanto como una cuestión sobre el sistema del mundo?

Mayo 2003:   Data-fitting and Whitney´s extension theorem. Charles Fefferman

Whitney posed a problem in the 30s to which the standard Whitney extension theorem gives a partial answer. This talk will solve a variant of Whitney´s problem and relate it to "data fitting".

Mayo 2003: Una panorámica de la geometría de superficies utilizando el programa "Superficies". Ángel Montesinos

Abril 2003:  Vida y obra de A.N. Kolmogorov. Kazaros Kazarian

El coloquio esta dedicado a la vida y la obra de uno de los más grandes matemáticos del siglo XX ­ Andrei N. Kolmogorov. La charla esta basada en memorias publicadas de los discípulos y familiares de Kolmogorov. Se intentará describir el ambiente que le rodeaban y las circunstancias que han influído para desarrollo de un matemático tan universal. Se comentará las primeras obras de Kolmogorov que le han consagrado como un matemático mundialmente famoso.

Marzo 2003: Modelos de interpolación para la desocultación en imágenes. Vicent Caselles

Tras una breve introducción al planteamiento matemático del tratamiento de imágenes, nos planteamos el problema de restaurar imágenes que han sido dañadas (por graffiti, por mencionar un ejemplo), o han perdido los datos en alguna zona, o bien el problema de la restauración de efectos en video. Discutiremos como podemos abordar este problema como un problema de interpolación de la parte dañada y propondremos un modelo geométrico de restauración. Seguidamente explicaremos cómo puede fundamentarse matemáticamente dicho modelo, propondremos una aproximación numérica del mismo y mostraremos algunos experimentos y aplicaciones del modelo.

Enero 2003: Métodos estadísticos de clasificación y construcción de grupos con muchas variables. Daniel Peña

En Biología, Economía e Ingeniería se presenta con frecuencia el problema de agrupar elementos sobre los que se han medido un conjunto amplio de variables. Por ejemplo, clasificar ecosistemas o genes, empresas o países, procesos productivos o sitios de internet. Este trabajo revisa las técnicas estadísticas actuales de agrupamiento de observaciones (cluster analysis) y propone nuevas alternativas basadas en proyecciones y en métodos recursivos de partición.

Diciembre 2002: El problema de la Implicitación y las Identidades de Newton en varias variables. Laureano González-Vega

Motivado por el problema del cálculo de la ecuación implícita de una superficie paramétrica, se muestra como las clásicas Identidades de Newton que relacionan raíces (o sus Sumas de Newton) y coeficientes en el caso de una variable pueden ser generalizadas a sistemas de ecuaciones algebraicas con un número finito de soluciones.

Noviembre 2002: Bases no separables de ondículas y problemas relacionados. Joaquim Bruna

Las bases de ondículas en 2D implementadas en Matlab, Mathematica etc son "separables" y por tanto privilegian la dirección horizontal y la vertical, característica que las hace inadecuadas para algunas aplicaciones. En la charla se presentará un enfoque alternativo para la construcción de bases de ondículas no separables en dimensión n>1,  se comentarán diversos problemas abiertos en la teoría y sus relaciones con otras cuestiones importantes en análisis, como la conjetura espectral de Fuglede sobre teselaciones.

Noviembre 2002: Analytic singularities of the dynamical zeta function. V. Petkov

The talk is concerned with the similarity of the proprieties of the Riemann zeta function and the dynamical zeta function related to several strictly convex obstacles. The exposition is for a large public of mathematicians and the (solved and unsolved) problems on zeta functions seem quite attractive. I hope that a such subject could be interesting for people dealing with the analysis, algebra and ergodic theory.  

Octubre 2002: Pequeños denominadores y dinámica cuasi-periódica. Ricardo Pérez Marco

Los problemas de pequeños denominadores surgen en dinámica, geometría y numerosos problemas de análisis. Se han desarrollado múltiples técnicas analíticas para abordarlos. Expondremos varias de ellas que ilustraremos con problemas de dinámica hamiltoniana y dinámica holomorfa.