Topología

Curso 2021/22

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Programa

  1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS. Espacios métricos. Conceptos topológicos. Definición de topología. Base de una topología. Adherencia, frontera, interior de un subconjunto de un espacio topológico. Aplicaciones continuas, homeomorfismos. Topologías inducidas: Subespacios, productos y cocientes.
  2. CONEXIÓN. Conexión, componentes conexas. Invariancia por aplicaciones continuas. Subconjuntos conexos de R. Conexión por arcos.
  3. COMPACIDAD. Definición y ejemplos. Invariancia por aplicaciones continuas. Subconjuntos compactos de Rn. Compactos en espacios métricos. Continuidad uniforme.
  4. OTRAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS TOPOLÓGICOS. Axiomas de numerabilidad, separabilidad. Axiomas de separación, espacios de Hausdorff.
  5. HOMOTOPÍA. Homotopía de caminos. El grupo fundamental. Espacios simplemente conexos. Espacios recubridores. Cálculo de algunos grupos fundamentales. Tipo de homotopía. Aplicaciones.
  6. TEMAS ADICIONALES. Si hubiere tiempo se desarrollaría alguno de los temas siguientes:
    • Convergencia de series en espacios de funciones.
    • Espacio de funciones continuas y acotadas: Teorema de Ascoli-Arzelá.
    • Espacios métricos completos: Teorema del punto fijo de Banach.
    • Productos infinitos. Teorema de Tychonoff.

Libro de texto

  • James R. Munkres; Topology; Prentice Hall, 2000. (traducción al castellano, Pearson Educación, 2002).
Errata importante observada en la traducción al español del libro de Munkres:

El enunciado del Teorema 27.1 (p. 196) está mal traducido. La afirmación del teorema es cierta para intervalos cerrados pero no para subconjuntos cerrados en general.

Una traducción correcta sería:

Teorema 27.1. Sea X un conjunto simplemente ordenado que tiene la propiedad del supremo. Entonces con la topología del orden todo intervalo cerrado de X es compacto.

Otras referencias

  1. John B. Conway; A Course in Point Set Topology; Springer, 2014. eBook
  2. Martin D. Crossley; Essential topology; Springer, 2005. eBook
  3. James Dugundji; Topology; Allyn and Bacon, Inc., 1966.
  4. John L. Kelley; General Topology; Van Nostrand Reinhold, 1955.
  5. Marco Manetti; Topology; Springer, 2014. eBook
  6. Stefan Waldmann; Topology. An Introduction; Springer, 2014. eBook
  7. Volker Runde; A Taste of Topology; Springer, 2005. eBook
  8. Lucía Contreras. Ejercicios de homotopía.

Las referencias señaladas con el símbolo eBook tienen acceso electrónico desde la biblioteca de la UAM.

Profesores, horarios y aulas

Evaluación del curso

Durante el curso se realizarán dos exámenes parciales (que tendrán lugar durante la hora de clase); las fechas de estos exámenes se fijarán durante la primera semana del curso.

El examen final tendrá lugar el lunes 17 de enero por la mañana (fijado por la Junta de Facultad).

La calificación por curso se calculará ponderando un 20% cada examen parcial y un 60% el examen final.

La calificación final será la más alta de las calificaciones por curso y del examen final.

Controles y exámenes

Hojas de ejercicios (pdf)

Exámenes de años anteriores


Patricio Cifuentes
Fecha de elaboración: 2 / 09 / 2021