14448 - PROBABILIDAD II 
Obligatoria. 
Tercero de Matemáticas. Segundo semestre. 
8 créditos (8 créditos ECTS). 

Programa:

• Introducción: Leyes de los Grandes Números y Teorema del Límite Central, en sus formas más simples.
• Variables aleatorias y vectores aleatorios, en el lenguaje de la Teoría de la Medida.
• El concepto general de independencia, y sus consecuencias. Aplicaciones de las Leyes Débil y Fuerte de los grandes números. Ley 0-1 de Kolmogorov. Lemas de Borel-Cantelli. Aplicaciones: números normales, renovación, teorema de Shannon, ... 
• Algunas ideas sobre simulación de v.a., y sobre paseos aleatorios y otros procesos. Repaso de algunas distribuciones usuales. Paseo aleatorio simple, reflexión. 
• Funciones generatrices y aplicaciones. Procesos de Poisson, recurrencia en Paseos Aleatorios, ... 
• Función característica y algunas consecuencias. Teorema de Inversión y algunos límites (Ley Débil, Poisson y CLT). 
• Relaciones entre formas de convergencia: c.s., en P, y en media de orden p. Con una breve introducción a L^p. 
• Otras versiones de la Ley Débil. Se llega hasta una versión aplicable a la "paradoja de S. Petersburgo". 
• La Ley Fuerte (teoremas de Kolmogorov). Con la prueba del Lema Maximal y del Teorema de las 3 series. 
• Convergencia en distribución y el Teorema de Continuidad. Se estudia la relación con otras formas de convergencia. También se dan algunos complementos (p.ej. Glivenko - Cantelli y Weierstrass - Bernstein). 
• Hipótesis más débiles para el Teorema del Límite Central. Se llega a las condiciones de Lyapunov y de Lindeberg. 
• Algunas aplicaciones. P.ej., a procesos de Poisson. El Tema pretende ser un repaso final de las herramientas introducidas y sus posibles usos. 

 Referencias:

• Adams & Guillemin.  Measure theory and probability.  Birkhauser, 1996. 
• Grimmett & Welsh.  Probability an introduction.  Oxford, 1986 . 
• Taylor.  An introduction to measure and probability.  Springer, 1997.
• Feller. An introduction to probability theory and its applications. (2nd ed): Wiley, 1971 .
• Grimmett & Stirzaker. Probability and random processes.  Oxford, 1992 .
• Durrett.   Probability: theory and examples.  Wadsworth & Brooks/Cole, 1991.

14448 - PROBABILITY II 
Third Year. Second semester. 
8 ECTS credits. 

Contents:

Introduction: Laws of Large Numbers and CLT, in their simplest forms.
       Easy proofs of both Weak and Strong Laws are presented, with their meaning as related to the CLT. 

 Random variables and random vectors, in the language of Measure Theory.
       An example-based presentation, meant to recall the elementary Probability Calculus (from Prob.I, 2nd year), and to boost it with the language and ideas of Measure Theory (3rd year, 1st semester). 

 The general setting of Independence, and some consequences. Uses of the W and S Laws.
       Including the Borel-Cantelli lemmas, and Kolmogorov's 0-1 Law. 
       Examples include: normal numbers, Renewal, Shannon's theorem,... 

 Some ideas on Simulation of R.V.s, Random Walks and other Processes.
       With a review of usual distributions, and a short visit to Simple Random Walk (Reflexion, etc.). 
       Intended as a source of ideas and language for later reference in useful examples. 

 Generating functions, and some uses for them.
       Some examples: Poisson processes, recurrence of Random Walks, ... 

 Characteristic functions.
       Included: Inversion Theorems and some limits (Weak Law, Poisson, CLT). 
       NOT included: the "Continuity Theorem", which comes later. 

 Notions of convergence, and how they are related: a.s., in P, in p-mean.
       With a brief presentation of L^p. 

 Extensions of the Weak Law.
       Up to one version which applies to the "St.Petersburg paradox". 

 Strong Laws (Kolmogorov's theorems).
       With proofs of the Maximal Lemma and the 3 Series Theorem. 

 Weak convergence and the Continuity Theorem.
       Relationships with other notions of convergence are explored. 
       With some complements (e.g. Glivenko-Cantelli's and Weierstrass-Bernstein's theorems). 

 Weaker hypotheses for the Central Limit Theorem.
       Up to Lyapunov's and Lindeberg's conditions. 

 Some applications.
        E.g., to Poisson processes. Meant as a final review of the presented tools and their uses. 
 
 

References:
 -   Adams/ Guillemin.  Measure theory and probability.  Birkhauser, 1996 
 -   Grimmett/ Welsh.  Probability an introduction.  Oxford, 1986 
 -   Taylor.  An introduction to measure and probability.  Springer, 1997 

 -   Feller. An introduction to probability theory and its applications. (2nd ed): Wiley, 1971 
 -   Grimmett/ Stirzaker. Probability and random processes.  Oxford, 1992 
 -   Durrett.   Probability: theory and examples.  Wadsworth & Brooks/Cole, 1991