Ejemplo: x'(t)=3t2x(t); la solución es de la forma x(t)=C exp(t3), cualquier valor de la constante C proporciona una solución; para comprobarlo es suficiente calcular x'(t)=3t2C exp(t3) y comprobar que coincide con 3t2x(t). Es habitual abreviar la expresión de la ecuación diferencial en la forma: x'=3t2x.
La ecuación del ejemplo es una ecuación diferencial ordinaria: la función incógnita x(t) es una función de variable real. Además solamente aparece su primera derivada ---se dice entonces que es de primer orden---, y ésta está despejada ---aparece sola en el primer miembro. Éste es el tipo de ecuaciones que estudiaremos: las que pueden escribirse en la forma x'=p(t,x) como abreviatura de x'(t)=p(t,x(t)).
La notación para las variables dependiente e independiente puede ser muy variada. La variable dependiente la reconoceremos por aparecer derivada. La variable independiente, bien es obvia, bien debe ser indicada:
y'=cos(xy); y=y(x) variable dependiente (incógnita), x variable independiente.
z'=(a2+z2)x; se sobreentiende que la ecuación es z'(x)=(a2+z(x)2)x, ya que la letra a suele usarse simbolizando una constante.
Otros tipos de ecuaciones diferenciales que NO estudiaremos en estos apuntes son:
1. Ecuaciones diferenciales de orden superior al primero. Pertenecen a este tipo las ecuaciones de la mecánica clásica que suelen ser de segundo orden. Ejemplo: x''+a x'+b x=F(t).
2. Sistemas de ecuaciones diferenciales de cualquier orden. En ellos aparece más de una función incógnita. Ejemplo: ecuaciones de Lotka--Volterra.
3. Ecuaciones en derivadas parciales. La función incógnita
es una función de varias variables. Ejemplo: ecuación de
ondas.