Programa
- Motivación y planteamiento de objetivos
(Desarrollo histórico de la integración y preguntas básicas que
conducen a la teoría de Lebesgue)
- Teoría básica de la integral de Lebesgue
(Integral y medida. Definición de la integral
supuesta la medida. Teoremas de convergencia. Derivación bajo el signo
integral)
- Espacios de medida (Ejemplos. Construcción
de medidas. Medida exterior. Teorema de Caratheodory. Medidas de Lebesgue-Stieltjes
en la recta real)
- Producto de medidas (Teoremas de Fubini.
Medida de Lebesgue en el espacio Euclídeo de varias dimensiones. Imagen
recíproca de una medida. Cambio de variables en la integración.)
- El teorema fundamental del cálculo para la integral de
Lebesgue (Medidas complejas. Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym.
Funciones de variación acotada. Funciones absolutamente continuas.
Diferenciación en el espacio Euclídeo)
- Medidas de Hausdorff y fractales (Medida
exterior métrica. Construcción de las medidas de Hausdorff. Dimensión de
Hausdorff. Ejemplos: Conjuntos de Cantor, triángulo de Sierpinski, curva de
von Koch. Curvas de Peano)