BLOQUE I: CONJUNTOS Y FUNCIONES
Capítulo 1. Lógica elemental.
-
Proposiciones.
-
Cuantificadores.
- Métodos de
demostración.
Capítulo 2. Conjuntos.
- Formas de
especificar un conjunto.
- Igualdad de
conjuntos.
- El Conjunto
Vacío.
- Relación de
Inclusión.
- Operaciones
con conjuntos.
- Partes de un
Conjunto.
- Números
combinatorios. Teorema del binomio de Newton
- Álgebra de
Boole.
- Conjunto
Universal (Paradojas).
Capítulo 3. Funciones
·
Producto cartesiano de dos
conjuntos
- Concepto de
Función. Gráficas.
- Funciones
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
- Conjuntos
finitos. Principio del palomar. Ejemplos.
- Composición
de Funciones y Función Inversa.
-
Comportamiento respecto a la unión, la intersección y el
complementario.
- Operaciones
binarias. Grupos, anillos, cuerpos.
Capítulo 4. Relaciones de orden.
- Relación
binaria sobre un conjunto.
- Propiedades
reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
- Relaciones de
orden.
- Máximos,
mínimos, elementos maximales y minimales, cotas, supremos e ínfimos.
- Relaciones de
orden total.
- Axioma de
elección, conjuntos inductivos, lema de Zorn. Ejemplos y aplicaciones.
Capítulo 5. Relaciones de
equivalencia y cardinales.
- Relaciones de
equivalencia. Clases de equivalencia.
- Particiones y
conjunto cociente. Funciones definidas en el conjunto cociente.
- Conjuntos
equipotentes. Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.
- Conjuntos
numerables y no numerables. Propiedades.
- Idea de
Cardinal. El Cardinal de los conjuntos numerables.
- Cardinales
infinitos y la hipótesis del continuo.
BLOQUE II: SISTEMAS DE NÚMEROS
Y POLINOMIOS
Capítulo 6. Los Números Enteros y los
Enteros Módulo n.
- Propiedades
de las operaciones y el orden en los enteros.
- Divisibilidad
en los enteros.
- Congruencias
módulo n.
- Teorema de la
división, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
- Algoritmo de
Euclides. Identidad de Bézout.
- Números
Primos entre sí. Números Primos. Teorema de
Euclides. Teorema Fundamental de la Aritmética.
- Ecuaciones
diofánticas.
Capítulo 7. Extensiones de Q: los
cuerpos R y C.
- Construcción
de los números reales. Propiedad del supremo.
- Números
complejos. Representación geométrica. Forma polar.
- Potencias y
raíces de un número complejo. Raíces de la unidad.
Capítulo 8. Polinomios.
- Anillos de
polinomios (con coeficientes en un dominio de integridad). Grado de un
polinomio.
- Teorema de la
división. Ceros de un polinomio. Multiplicidad. Funciones polinómicas.
- Unidades y
polinomios irreducibles. Factorización.
- El Lema de
Gauss y sus consecuencias.
- Criterios de
Irreducibilidad en Z[X]: Criterio de Eisenstein, reducción a módulo finito y
traslación.
- Teorema
fundamental del álgebra. Polinomios irreducibles en
C[X] y en R[X].
Capítulo 9. Congruencias, Teoría
de Números elemental.
- El teorema
pequeño de Fermat.
- La Función
φ
de Euler y el teorema de Euler.
- Ecuaciones
lineales en congruencias. Sistemas de congruencias y el teorema chino del
resto.