\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
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% Para fuentes postscript
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%\usepackage{lmodern}
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%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
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    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
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   {\bf \alph{nroapartado})}
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%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
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\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Procesos Estocásticos} \hfill \textbf{Hoja 2}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

{\bf Parte 1.}

\vspace{0.3cm}

\n Sean $N, X_1, X_2,\dots $, variables aleatorias independientes, con 
$N:\Omega\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$, es decir, $N$ toma valores enteros
positivos. Supongamos además que las variables $X_1, X_2,\dots $ 
pertenecen a $L^2$ y
están distribuidas
identicamente (en particular, todas tienen la misma media y la misma varianza).
Dada $S (w) := \sum_{i=1}^{N(w)} X_i(w)$, calcular $E(S|N)$, $E(S)$, y
$\operatorname{Var}(S)$. Sugerencia: ver Prob 9.6, 1, p.147 de las fotocopias.


\n  Pepe y Jaime juegan con una moneda equilibrada. Pepe elige la sucesión 101 y Jaime, 001. El
juego termina la primera vez que una de estas sucesiones aparece, ganando quien la haya elegido.
Calcular la probabilidad de que gane Pepe. Calcular la probalibidad de que ganase Pepe si
Jaime hubiera elegido 110, en vez de 001. Calcular la duración media de este último juego. Si lanzamos la moneda
hasta que sale 101, calcular el número medio de lanzamientos. Hacer lo
mismo con 110.

\n En un mundo con dos paises A y B, sin nacimientos ni muertes, 
sabemos que en cada período de tiempo 
el 5 $\% $ de la población emigra a B, mientras que el 10 $\% $
de la población de B emigra a A. Determinar que sucede a largo
plazo. (Sugerencia: en vez de usar la matriz de transición $P$,
usar su traspuesta -simplemente por hábito-. 
Hallar los autovalores y autovectores de $P^T$,
y deducir las conclusiones adecuadas).

\n Si $N$ es un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$, probar que
$\lim_{t\to\infty} \operatorname{Var}(t^{-1} N_t) = 0$ (p.169, 4). 

\n Probar el lema de Kronecker: si $\{r_n\}_1^\infty$ es una sucesión de números
reales y $0 < b_1 \le b_2 \le \dots$ satisface $\lim_n b_n = \infty$, entonces
la convergencia de $\sum_{i=1}^{\infty} x_i/b_i$ a un número real implica
que $\lim_n b_n^{-1} \sum_{i=1}^{n} x_i =0$.

\n Probar que si  $\mu$ es una medida en el espacio $X$, y 
$f:X\to [0,\infty)$ es medible, entonces para todo $ 1\le p <\infty$, 
$\int_X f^p d\mu = \int_0^\infty p t^{p-1} \mu\{f > t\} dt$.

\vspace{0.5cm}

{\bf Parte 2.}

\vspace{0.3cm}

\n Probar que si $X := \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una martingala adaptada a la filtración
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$, entonces para todo $n>0$ tenemos 
$EX_n = EX_0$. Enunciar los resultados análogos para sub y supermartingalas, y demostrarlos.

\n Probar que si $X := \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una martingala adaptada a la filtración
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$, entonces para todo $m, n\ge 0$ tenemos
$E(X_{n + m}|\mathcal{A}_n) = X_n$. Enunciar los resultados análogos para sub y supermartingalas, y demostrarlos.

\n Probar que si $X := \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una martingala adaptada a la filtración
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$, entonces para todo $n\ge 0$ tenemos 
que $\sigma (X_0, \dots ,X_n) \subset \mathcal{A}_n$, y $X$  es una martingala adaptada a  
$\sigma (X_0, \dots ,X_n)$. Aquí $\sigma (X_0, \dots ,X_n)$ denota la $\sigma$-álgebra más
pequeña que hace que todas las funciones $ X_0, \dots ,X_n $ sean medibles.


\n Probar que si $T_1, T_2$  son tiempos de parada con respecto a la filtración
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$, entonces  $T_1 + T_2$, $\max\{T_1, T_2\}$ y 
$\min\{T_1, T_2\}$ son  tiempos de parada con respecto a 
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$.

\n Probar que si $X := \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una submartingala adaptada a la filtración
$\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$, y $T_1, T_2$ son tiempos de parada acotados, digamos, por
$m\in\mathbb{N}$, y tales que
$ T_1\le  T_2$, entonces $EX_0 \le  EX_{T_1} \le  EX_{T_2} \le EX_{m}.$

\n Demostrar que si $X := \{X_t\}_{t\in T}$  es un proceso uniformemente integrable, entonces
$\|X\|_1 := \sup_{t\in T} \|X_t\|_{1} < \infty$.

\n Probar que si $X := \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una submartingala, y 
$1 \le r\le s\le \infty$, entonces $\|X\|_r  \le \|X\|_s$, donde $\|X\|_p := \sup_{n\in \mathbb{N}} \|X_n\|_{p}$.



\end{document} 