\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
\usepackage[latin1]{inputenc}

% Para fuentes postscript
%\usepackage{type1ec}
%\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}


%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[hmargin={1.5cm,1.5cm},vmargin={1.5cm,1.5cm}]{geometry}



\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Procesos Estocásticos} \hfill \textbf{Hoja 1.5}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

Para el Miercoles 7.

\vspace{0.3cm}

\n Séan $\mu$ y $\nu$ medidas de probabilidad  en $\mathbb{Z}$.
Definimos la distancia entre $\mu$ y $\nu$, dada por la variación total, 
como $\|\mu - \nu\|_{TV}:= \sum_{k=-\infty}^\infty |\mu(k) - \nu(k)|$. 
Probar que  $\|\mu - \nu\|_{TV} = 2 \sup_{A\subset \mathbb{Z}}|\mu (A) - \nu(A)|$.
Sugerencia: Considerar $A = \{\mu\ge\nu\}$.


\n Probar que $\|\mu_1 * \mu_2 - \nu_1 * \nu_2\|_{TV} \le \|\mu_1 \times \mu_2 - \nu_1 \times \nu_2\|_{TV}$, donde la convolución se define como $P*Q (n) = \sum_{k=-\infty}^\infty P(n - k)Q(k)$.

\n Probar que $\|\mu_1 \times \mu_2 - \nu_1 \times \nu_2\|_{TV}  \le  \|\mu_1  - \nu_1 \|_{TV} + \| \mu_2 -  \nu_2\|_{TV}$.

\n Probar que $\|\mu_1 *\cdots *\mu_n - \nu_1 * \cdots *\nu_n\|_{TV} \le \sum_{k=1}^n\|\mu_k  - \nu_k \|_{TV}$. Sugerencia. Usar inducción.



\end{document} 