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% numeración automática (para problemas, principalmente)
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% apartados, nivel 1
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% apartados, nivel 2
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\newcommand{\gfo}{G=(V,A)}
\newcommand{\gfop}{G^{\prime}=(V^{\prime},A^{\prime})}
\newcommand{\gfoc}{G^{\textsc{c}}=(V^{\textsc{c}},A^{\textsc{c}})}

% para combinar figuras y texto; probar ambos
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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\pagestyle{empty}


\begin{center}
  \textsc{Procesos Estocásticos} \hfill \textbf{Hoja 1} \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\


Se asume siempre que estamos trabajando en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.
Estos problemas son básicamente un repaso o recordatorio de cursos anteriores.

\


\n Decimos que la sucesión de v.a. $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ converge en media de orden  $p > 0$ a la v.a. $X$
(en el caso particular $p=2$ decimos
que hay convergancia en media cuadrática) 
 si
$$\lim_{n\to\infty} E(|X_n -X|^p) = 0$$
cuando $p <\infty$, y 
$$\lim_{n\to\infty} \operatorname{ess} \sup |X_n -X| = 0$$
cuando $p =\infty$.

\pr{a} Probar que para todo par $s,p$ tal que $0 < s < p\le\infty$, 
se cumple $\|X\|_s\le\|X\|_p$ (sugerencia: usar Jensen o Hölder). Concluir que la convergencia en media 
de orden $p$  implica convergencia en media de orden $s$
para todo $0 < s < p$, y además implica
convergencia en probabilidad.

\pr{b} Los recíprocos no son ciertos; proporcionar   contraejemplos.



\n Estudiar para $ \alpha>0 $ la convergencia en
media cuadr\'atica de la sucesi\'on $\{X_n\}_{n=1}^\infty$, sabiendo que

\[  P(X_n=n)=\frac{1}{n^\alpha}, \hspace{5mm} P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^\alpha}.
  \]


\n Dada la informacion $E[X] = 7$  y $\operatorname{Var}(X) = 9$, usar la desigualdad de Chebyshev-Markov para
acotar inferiormente  $P(4 \le X \le 10)$. Con las mismas hipótesis, hallar los valores máximo y mínimo
que puede tomar $P(4 < X < 10)$.

\n Determinar si para toda  $\mu  \ge 0$, toda $\sigma \ge 0$, y toda $c >\sigma$,
existe una v.a. $X$ con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ tal que
$$P(|X - \mu| \ge c) = \frac{\sigma^2}{c^2}.$$ Más adelante veremos desigualdades
maximales, que en cierto sentido mejoran la desigualdad de Chebyshev-Markov.

\n Lanzamos un dado equilibrado con 6 caras, y a continuación lanzamos una moneda 
equilibrada tantas veces como señale el dado. Sea $X$ el número de caras obtenido. Calcular 
$E[X]$ y $\operatorname{Var}(X)$. Comentario-sugerencia: puede que sea más fácil hallar la
esperanza y la varianza condicionales primero. Buscad la definición de la varianza condicional
si no la habeis visto antes, y la regla de la varianza total.

\n Este problema es más o menos igual que el anterior. Lanzamos una moneda lastrada, con probabilidad de sacar cara
igual a $3/5$. Si sale cara lanzamos un dado equilibrado con cuatro
caras numeradas del 1 al 4, y si sale cruz lanzamos un dado
equilibrado con seis caras numeradas del 1 al 6. Sea $Y$ el número
obtenido. Denotando $X=1$ si sale cara, $X=0$ si sale cruz, hallar
1) $E(Y|X)$, 2) $E(Y)$, 3) $\operatorname{Var}(E(Y|X))$, 4)
$\operatorname{Var}(Y|X)$, 5) $\operatorname{Var}(Y)$.


\n Dadas tres variables aleatorias $X, Y, Z$ y una función de Borel $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 
probar las siguientes afirmaciones:

\pr{a}
$E[Y \ g(X) \ | X] = g(X) \ E[Y | X] .$

\pr{b} $
E[E[Y | X,Z] \ |   X] = E[Y | X] = E[E[Y | X] \ | X,Z] .$

\n Dadas dos variables aleatorias $X$ e  $Y$ con media cero, demostrar las siguientes
afirmaciones: 

\pr{a} $X$ y $E[X | Y ]$ tienen correlación positiva.

\pr{b} El coeficiente de correlación de $Y$ y $E[X | Y ]$ tiene el mismo signo que el de  $X$ y $Y$.

\n Demostrar la positividad de la esperanza condicional, es decir, si $X \ge 0$ c.s., entonces $E(Y|X)\ge 0$ c.s..

\n Demostrar la versión condicional de la desigualdad de Jensen.

\n Demostrar la siguiente versión condicional de Chebyshev: Si $a >0$, entonces 
$$
P(|X|\ge a|\mathcal{B}) \le E\left(\frac{X^2}{a^2}|\mathcal{B}\right).
$$



\end{document}
