\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
\usepackage[latin1]{inputenc}

% Para fuentes postscript
%\usepackage{type1ec}
%\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}


%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
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\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
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    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
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    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
\setlength{\parindent}{0pt}
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\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Procesos Estocásticos} \hfill \textbf{Hoja 3}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}


\n Probar que $e^{-s} + e^s \le 2 e^{-s^2/2}$ para cualquier número real $s$
(este hecho completa la demostración de la desigualdad de Hoeffding para martingalas
con diferencias acotadas).

\n Sea  $X= \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  una martingala uniformemente integrable.

a) Probar que $X_\infty(w) :=\lim_n X_n(w)$ existe para casi todo $w\in \Omega$.

b) Probar que $\lim_n\|X_\infty  - X_n\|_1 = 0$.

c) Probar que  para toda $n \ge 0$,
$E(X_\infty|\mathcal{A}_n) = X_n$.


\n Decidir razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
Si $p> 1$ y $X= \{X_t\}_{t\in T}$ es un proceso estocástico en $L^p$
(es decir, $\|X\|_p := \sup_{t\in T} \|X_t\|_{p} < \infty$) entonces
$X$ es uniformemte integrable.

\n Decidir razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
Si $p> 1$ y $X= \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$ es una martingala en $L^p$,
entonces existe una v.a. $Y\in L^p$ tal que para toda $n \ge 0$,
$E(Y|\mathcal{A}_n) = X_n$.

\n Sea  $B_t$ un movimiento browniano estandar, sea $\mathcal{A}_n := \sigma(B_0, B_1, \dots, B_n)$
y sea $X_n := B_n$. 

a) Decidir razonadamente si $X:= \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$ es una martingala con respecto
a $\{\mathcal{A}_n\}_{n=0}^{\infty}$.

b) Decidir razonadamente si $X= \{X_n\}_{n=0}^{\infty}$ está en $L^{2}$.

c) Decidir razonadamente si existe una $X_\infty\in L^1$ tal que
 $\lim_n\|X_\infty  - X_n\|_1 = 0$.


\end{document} 