%Bloque I

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%%%%%%%%%%%%%
% LAS MACROS
%%%%%%%%%%%%%
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\xyoption{all} %%!!
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\newcounter{number}
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% apartados, nivel 1
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% apartados, nivel 2
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\newcommand{\gfop}{G^{\prime}=(V^{\prime},A^{\prime})}
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% para combinar figuras y texto; probar ambos
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\begin{document}

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\pagestyle{empty}


\begin{center}
  \textsc{Probabliidad 2} \hfill \textbf{Hoja 9} \hfill \textsc{Curso 2014/15}
\end{center}

\


Para el Jueves 23/4/2015. Salvo afirmaci\'on expresa en sentido
contrario se asume siempre que estamos trabajando en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, P)$,
que  $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ es una sub-$\sigma$-\'algebra, que las funciones son medibles, etc..

\n Lanzamos una moneda lastrada, con probabilidad de sacar cara
igual a $3/5$. Si sale cara lanzamos un dado equilibrado con cuatro
caras numeradas del 1 al 4, y si sale cruz lanzamos un dado
equilibrado con seis caras numeradas del 1 al 6. Sea $Y$ el n\'umero
obtenido. Denotando $X=1$ si sale cara, $X=0$ si sale cruz, hallar
a) $E(Y|X)$, y  b) $E(Y)$.

\n Tenemos un dado equilibrado con 6 caras numeradas del 1 al 6. Lanzamos la  primera vez y 
apuntamos el n\'umero $x$ obtenido. A continuaci\'on, 
lanzamos el dado $x$ veces y sumamos los valores $y_i$ obtenidos: $s_x = y_1 + \cdots  + y_x$.
Hallar $E(X)$, $E(Y_i)$, y $E(S_X)$, donde $X$ es la variable aleatoria ``resultado del primer lanzamiento", $Y_i$ el resultado del lanzamiento
$ 1 + i$, y $S_X = \sum_{k = 1}^X Y_k$. Se asume que todas
las tiradas son independientes. 
Determinar la relaci\'on entre las tres medias.


\n a) Enunciar la Ley Fuerte de Los Grandes N\'umeros.

b) Consideramos $(0,1)$ con la medida de Lebesgue, Escribimos $w\in (0,1)$ usando
la expansi\'on decimal habitual. Definimos $X_n(w)$ como el n\'umero de sietes que aparecen
en las $n$ primeras posiciones de la expansi\'on decimal de $w$ (por ejemplo, $X_3(0.777) = 3,
 x_3(0.12345) = 0$.  Decidir razonadamente si $\lim_n n^{-1}X_n$ converge casi seguro, y
 en caso de respuesta afirmativa, hallar el l\'{\i}mite.
 
 c) Decidir razonadamente si 
 $$
 \lim_n \frac{X_n - 10^{-1}n}{n^{2/3}}
 $$ 
 converge casi seguro, y
 en caso de respuesta afirmativa, hallar el l\'{\i}mite.


\n  Calcular las funciones generatrices de probabilidad, de momentos y las funciones caracter\'{\i}sticas de $X$ cuando $X$ es
a) Bernoulli$(p)$,
b) Binomial$(n,p)$,
c) Poisson$(\lambda)$. Usar unicidad y la propiedad multiplicativa para conclu\'{\i}r que la suma de v.a. independientes
con distribuci\'on Poisson$(\lambda_i)$, $i = 1, \dots, n$, es Poisson$(\sum_1^n \lambda_i)$.

\n  Calcular la funci\'on generatriz de momentos y la funci\'on caracter\'{\i}stica de $X\sim \operatorname{Uniforme}(0,1)$. 


\n  Calcular la funci\'on generatriz de momentos y la funci\'on caracter\'{\i}stica de $Z\sim N(0,1)$. 

\n  Probar que la funci\'on caracter\'{\i}stica de $X$ con media 0 y varianza $1$
satisface
$$
\phi_X(t) = 1 - \frac{1}{2} t^2   + o(t^2)
$$ 
cuando $t\to 0$. Sugerencia: usar la expansi\'on de Taylor de $e^{ir}$, donde $r$ es real.

\n Demostrar el TCL usando los ejercicios anteriores, unicidad y la propiedad multiplicativa de las funciones
caracter\'{\i}sticas, y el Teorema de Continuidad de L\'evy-Cram\'er.

\n Para $n=1, 2, 3, \dots$, sea  $\{X_{n,m}\}_{m=1}^{n}$  una configuraci\'on triangular de v.a., tales que las variables en cada fila son independientes, sea $S_{n} := \sum_{i=1}^n X_{n,i}$, y sean $0 < a < b < 1$. Supongamos que las
variables en la fila $n$ son Bernoulli($p_n$), es decir, $P(X_n = 1) = p_n$, $P(X_n = 0) = 1 - p_n$.
Usar el Teorema de Berry-Esseen para demostrar que si $a \le p_n \le b$ para todo $n$,
entonces $(S_n - n p_n)/\sqrt{n p_n (1 - p_n)}$ converge en distribuci\'on a $Z\sim N(0,1)$.

\n Probar que si $\{X_n\}_{n=0}^{\infty}$  es una sucesi\'on de v.a.i.i.d. en $L^2$, se cumple
la condici\'on de Lindeberg. Sugerencia, usar el Teorema de la Convergencia Dominada de
Lebesgue.

\n Para $n=1, 2, 3, \dots$, sea  $\{X_{n, m}\}_{m=1}^{n}$  una configuraci\'on triangular de v.a., tales que las variables en cada fila son independientes, y sea $S_{n} := \sum_{i=1}^n X_{n, i}$.

a) Enunciar la condici\'on de Lindeberg.

b) Suponiendo que las variables en la fila $n$ son Bernoulli($p_n$), con
$p_n = n^{- 1/2}$,
decidir razonadamente
si 
$(S_n - n p_n)/\sqrt{n p_n (1 - p_n)}$ converge en distribuci\'on a $Z\sim N(0,1)$.

c) Sea $s \in (0,1)$. Decidir razonadamente qu\'e sucede si en el apartado anterior, en
vez de  $p_n = n^{ - 1/2}$ tenemos $p_n = n^{ - s}$.

d) Decidir razonadamente qu\'e sucede si en el apartado b), en
vez de  $p_n = n^{- 1/2}$ tenemos $p_n = n^{ - 1}$.
Sugerencia: recordar la Ley de los N\'umeros Peque\~nos.



\n Probar que la condici\'on de Lyapunov implica la condici\'on de Lindeberg. 
La condici\'on de Lyapunov nos dice que existe un $\delta > 0$ tal que
$\lim_{n\to \infty} Lyap(n, \delta) = 0$, donde 
$$
Lyap(n, \delta) := \frac{1}{s_n^{2 + \delta}} \sum_{k=1}^n  E|X_k - \mu_k|^{2 + \delta} .
$$




\end{document}

\n Decidir razonadamente si la martingala $S = \{S_n\}_{n=0}^{\infty}$ del ejercicio
anterior est\'a en $L^1$, es decir, si $\sup_n \|S_n\|_1 < \infty$.

