
\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}

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% numeraci�n autom�tica (para problemas, principalmente)
\newcounter{number}
\setcounter{number}{1}
\newcommand{\n}{\vspace{0.3cm}\noindent{\bf \arabic{number})\ }\addtocounter{number}{1}}

% apartados, nivel 1
\newcommand{\pr}[1]{\vspace{0.1cm}\hspace*{0.1cm} \textbf{#1) }}

% apartados, nivel 2
\newcommand{\prr}[1]{\vspace{0.1cm}\hspace*{0.5cm}\textbf{#1) }}


\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}
\newcommand{\gfo}{G=(V,A)}
\newcommand{\gfop}{G^{\prime}=(V^{\prime},A^{\prime})}
\newcommand{\gfoc}{G^{\textsc{c}}=(V^{\textsc{c}},A^{\textsc{c}})}

% para combinar figuras y texto; probar ambos
%\usepackage{wrapfig}
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\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\esp}{\vspace{0.1cm}} % espacio entre ejercicios

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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\pagestyle{empty}


\begin{center}
  \textsc{Probabliidad 2} \hfill \textbf{Hoja 1} \hfill \textsc{Curso 2013/14}
\end{center}

\


Para el Miercoles 12/2/2014. Se pueden entregar los problemas individualmente o en grupo. Hacerlo
en grupo no penaliza.




\


Se asume siempre que estamos trabajando en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, P)$,
y que  $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ es una sub-$\sigma$-\'algebra.

\

\n Probar el lema de Kronecker: si $\{x_n\}_1^\infty$ es una sucesi\'on de n\'umeros
reales y $0 < b_1 \le b_2 \le \dots$ satisface $\lim_n b_n = \infty$, entonces
la convergencia de $\sum_{i=1}^{\infty} x_i/b_i$ a un n\'umero real implica
que $\lim_n b_n^{-1} \sum_{i=1}^{n} x_i =0$.


\n Dar un ejemplo de tres eventos $A, B, C$ independientes 2 a 2, que no sean independientes.

\n Dado $C$ con $P(C) > 0$, decimos que $A$ y $B$ son condicionalmente independientes
con respecto a $C$ si $P(A\cap B|C) =P(A|C) P(B|C)$. Probar que si  $P(B\cap C) > 0$, 
$P(A\cap B|C) =P(A|C) P(B|C)$ es equivalente a $P(A|C) = P(A|B \cap C)$. 


\n  Consideramos $[0,1)$ con los conjuntos de Borel y la medida de Lebesgue. 
Sea $D_n$ la colecci\'on de subintervalos di\'adicos en $[0,1)$ de la generaci\'on $n$, es
decir, $D_n = \{[0, 2^{-n}), [2^{-n}, 2\cdot  2^{-n}), \dots, [1 - 2^{-n}, 1)\}.$ Usamos
$\mathcal{A}_n$ para denotar la $\sigma$-\'algebra generada por $D_n$. Sea $f(x) = x$. Decidir si
$\lim_{n\to\infty} E(f|\mathcal{A}_n)$ existe, y en que sentido.



\n Estudiar para $ \alpha>0 $ la convergencia en
media cuadr\'atica (es decir, en $L^2$) de la sucesi\'on $\{X_n\}_{n=1}^\infty$, sabiendo que

\[  P(X_n=n)=\frac{1}{n^\alpha}, \hspace{5mm} P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^\alpha}.
  \]





\end{document}
