\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
\usepackage[latin1]{inputenc}

% Para fuentes postscript
%\usepackage{type1ec}
%\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}


%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[hmargin={1.5cm,1.5cm},vmargin={1.5cm,1.5cm}]{geometry}



\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Modelización} \hfill \textbf{Hoja 5}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

Para entregar el Lunes 22.

\vspace{0.3cm}


\

\n Sea $S$ el conjunto de estados de una cadena de Markov finita con matriz
de transici\'on $P$, y sea $\pi = [\pi_1, \dots, \pi_n]$ una distribuci\'on invariante.
Probar que para todo $j\in\{1, \dots, n\}$, 
$$
\pi_j = \sum_{i=1}^n \pi_i p_{ij}.
$$

\n Dado un grafo finito $G=(V, A)$ con $n$ v\'ertices, 
probar que $\sum_{i=1}^n gr(i) = 2|A|$, donde $|A|$ denota el n\'umero de aristas, y 
$gr(i)$ el grado de $i$. 

\n Consideremos el paseo aleatorio simple en un grafo finito $G=(V, A)$, donde
$p_{ij} = 1/gr(i)$ si $i$ y $j$ son adjacentes ($x\sim y$), y $p_{ij} = 0$ si no.
Calcular 
$$
\sum_{i=1}^n gr(i) p_{ij}.
$$

\n Hallar una distribuci\'on invariante para la cadena del ejercicio anterior, y
comprobar que lo es.
Sugerencia: Utilizar los ejercicios precedentes.


\end{document} 

