\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
\usepackage[latin1]{inputenc}

% Para fuentes postscript
%\usepackage{type1ec}
%\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}


%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[hmargin={1.5cm,1.5cm},vmargin={1.5cm,1.5cm}]{geometry}



\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Modelización} \hfill \textbf{Hoja 3}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

Para entregar el Martes 19.

\vspace{0.3cm}


En los dos problemas siguientes se pide hacer todo a mano, sin invocar
teoremas de convergencia enunciados en clase. 
Puede ser m\'as conveniente trabajar con la matriz traspuesta  a la hora de calcular
autovalores. Escribir los conjuntos de estados y las matrices de transici\'on $P$ en los
siguientes casos. 

\

\n Urna de Ehrenfest con 2 bolas. Calcular los autovalores de $P^T$.

\n Lanzamos una moneda equilibrada un gran n\'umero de veces. Calcular
$\lim_n P^n$ si es que existe. Calcular los autovalores y la distribuci\'on invariante
(determinar si hay m\'as de una). Decir algo sobre la relaci\'on entre los autovalores
y la velocidad de convergencia de $\lim_n P^n$ a su l\'{\i}mite.


\n Abdul tiene dos esposas. Cada noche debe decidir con cual duerme (ni amantes ni
tr\'{\i}os, nunca duerme con las dos a la vez). En general prefiere a la m\'as joven, pero como 
tambi\'en le
gusta la variedad, alterna, con las siguientes probabilidades: con la mayor nunca
duerme dos noches seguidas; con la m\'as joven, la probabilidad de repetir es de $1/3$.  
Explicar que ocurre a largo plazo. Calcular
$\lim_n P^n$ si es que existe. Calcular los autovalores y la distribuci\'on invariante
(determinar si hay m\'as de una). Decir algo sobre la relaci\'on entre los autovalores
y la velocidad de convergencia de $\lim_n P^n$ a su l\'{\i}mite.


\end{document} 

