\documentclass[12pt,a4paper]{article}

%% Para acentos
\usepackage[latin1]{inputenc}

% Para fuentes postscript
%\usepackage{type1ec}
%\usepackage{lmodern}
\usepackage[T1]{fontenc}


%% Para mates
\usepackage{amsmath,amssymb,latexsym}

%% Para gráficos
\usepackage{graphicx}

%% Para gráficos realizados con LatexCad
%\usepackage{latexcad}


%% Para numeración automática
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\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

% Para maquetación
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[hmargin={1.5cm,1.5cm},vmargin={1.5cm,1.5cm}]{geometry}



\begin{document}



\begin{center}
  \textsc{Modelización} \hfill \textbf{Hoja 2}
  \hfill \textsc{Curso 2012/13}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

Para entregar el Lunes 11.

\vspace{0.3cm}


$A$ y $B$ juegan hasta que $A$ gana todo el dinero o lo pierde todo. Para jugar usan
un dado equilibrado con 4 caras. Si sale 1, se considera empate. Si sale 2, $B$ entrega
un euro a $A$, mientras que si salen $3$ o $4$, $A$ entrega un euro a $B$ (el juego es favorable a $B$).

\n Calcular la probabilidad de que gane $A$ si las fortunas iniciales son,
$A$ tres euros y $B$ dos. 

\n Calcular la duraci\'on media del juego.

\n Probar que toda cadena de Markov finita tiene (al menos) una distribuci\'on invariante.

\vspace{0.2cm}

Sugerencias:
\vspace{0.2cm}

1) Invocar el Teorema del punto fijo de Brower en $\mathbb{R}^n$ (quien no lo
conozca, que recurra a la Wikipedia, o cualquier otra fuente) digamos, para
bolas eucl\'{\i}deas, o para compactos convexos.
\vspace{0.2cm}

1.5) Comprobar que el resultado se extiende a cualquier conjunto
homeomorfo a la bola eucl\'{\i}dea.
\vspace{0.2cm}

2) Notar que el simplex $\{(x_1, \dots, x_{n+1}): x_i \ge 0, x_1 + \dots + x_{n+1} = 1\}$
es un compacto convexo (en $\mathbb{R}^{n + 1}$).
\vspace{0.2cm}

3) Usar lo anterior para obtener el resultado. Se puede utilizar sin demostraci\'on
el hecho (bastante obvio por otra parte) de que las aplicaciones lineales entre
espacios vectoriales de dimensi\'on finita son continuas.

\end{document} 

