\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage[latin1]{inputenc}

%% Para las columnas
\usepackage{multicol}


\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{multicol}


%% Para numeraci?n autom?tica
\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema}.\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }

%% m?genes

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\addtolength{\textwidth}{30mm}


\begin{document}

\begin{center}{\bf {\Large \'ALGEBRA I. HOJA 6}}\end{center}

\

Problemas LADW: p.46 2.1-2.2; p.51 3.1-3.9; pp.55-56, 5.1-5.6; pp 58-59 6.1-6.2; pp. 66-68 7.1-7.14; 
pp. 71-72 8.1-8.6.

\


   \n Resolver los siguientes
    sistemas de ecuaciones:
    $$
    a)\left\{\begin{array}{rrr}
      x+2y-z &= & 7 \\
      2x+y+z &= & 6 \\
      x-y+3z &= & -1
    \end{array}
    \right.\hspace{5mm}b)\left\{\begin{array}{rrr}
      2x+3y-5z-2 &= & 0 \\
      3x-y+2z+1 &= & 0 \\
      5x+4y-6z-3 &= & 0
    \end{array}
    \right.\hspace{5mm}c)\left\{\begin{array}{rrr}
      2x+y+4z+8t &= & -1 \\
      x+3y-6z+2t &= & 3 \\
      3x-2y+2z-2t &= & 8 \\
      2x-y+2z &= & 4
    \end{array}
    \right.
    $$
    Se pueden comprobar los resultados obtenidos por substitución
    o aplicando el método de Gauss.

    Sol: a)(5/3,8/3,0), b)(-1/5,14/5,6/5), c)(2,-3,-3/2,1/2).
    
    \n Estudiar la compatibilidad y carácter
    determinado/indeterminado de los sistemas siguientes aplicando
    el teorema de Rouché-Frobenius según el cálculo del rango de
    las matrices correspondientes a los sistemas siguientes:
    $$
    a)\left\{\begin{array}{rrr}
      x_1+2x_2-x_3 &= & 1 \\
      x_2+x_3 &= & 2 \\
      x_1+3x_2 \qquad&= & 3
    \end{array}
    \right.\hspace{5mm}b)\left\{\begin{array}{rrr}
      2x_1+x_2 &= & 5 \\
      x_1-x_2 &= & 1 \\
      x_1+2x_2 &= & 0
    \end{array}
    \right.\hspace{5mm}c)\left\{\begin{array}{rrr}
      x_1-3x_2+x_3 &= & 2 \\
      3x_1-8x_2+2x_3 &= & 2 \\
      2x_1-5x_2+x_3 &= & 3
    \end{array}
    \right.
    $$
    
    Sol: a) S.C.I \quad b) S. I. \quad c) S.I.
    
    \n Hallar los valores de $a$ y $b$ que hagan compatibles
    los sistemas
    $$
    a)\left\{\begin{array}{rrr}
      bx-ay-az &= & a \\
      -bx\qquad-az &= & a \\
      -bx-by-bz &= & b
    \end{array}
    \right.\hspace{1cm}b)\left\{\begin{array}{rrr}
      bx-ay-az-at &= & a \\
      -bx \qquad-az-at &= & a \\
      -bx-by\qquad-at &= & a \\
      -bx-by-bz \qquad&= & a \\
      -bx-by-bz-bt &= & b
    \end{array}
    \right.
    $$
    
    sol: a) Para cualesquiera valores de $a$ y $b$, \quad b) Si $a=0$.

\n Hallar los valores de $a$ para que los siguientes sistemas sean compatibles indeterminados.



$$a) \left. \begin{array}{r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}c}
ax&+y&+z&=1\\
x&+ay&+z&=1\\ 
x&+y&+az&=1\end{array}\right\} \qquad 
b) \left. \begin{array}{r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}c}
(a+1)x& +y&+2z&=-2\\
2x&+y&+(a+1)z&=3\\
x&+(a+1)y&+2z&=-2
\end{array}\right\} 
\qquad c) \left. \begin{array}{r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}r@{\hspace{0pt}}c}
-x&+ay&+az&=0\\
ax&-y&+az&=0\\
ax&+ay&-z&=0
\end{array}\right\}$$
sol: a) $a=1$ \quad b) $a=-4$ \'o $a=0$ \quad c) $a=-1$ \'o $a= \frac{1}{2}$




\n Encontrar bases de los siguientes subespacios: 
$$\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1 &&+x_3 +&2x_4 &= 0 \\ 
x_1 &&-x_3&& = 0 \end{array}\right\}\subset 
\mathbb{R}^4$$
$$\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1 &+x_2& +x_3 &+x_4 &+x_5 &= 0\\ 
x_1& -x_2 &+x_3& -x_4& +x_5 &= 0\end{array}\right\}\subset 
\mathbb{R}^5 \qquad 
\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
3x_1 &-x_2 &+3x_3& -x_4 &+3x_5 &= 0\\ 
3x_1& +x_2 &+3x_3 &+x_4 &+3x_5 &= 0\end{array}\right\}\subset 
\mathbb{R}^5$$

\vspace{0.2cm}

\n Encontrar una base del subespacio $S 
\subset \mathcal{M}_{2\times2} (\mathbb{R})$ definido por 
$$S = \left\{\left( \begin{matrix}a &b \\
c & d\end{matrix} \right)\Bigg|
\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
2a &+ b&- c &+ d &= 0\\ 
a& + b &+ c& - d &= 0\end{array}\right\}$$

\vspace{0.2cm}

\n Encontrar una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que tres divisibles por $x- 1$.

\vspace{0.2cm}

\n Comprobar que el subespacio de $\mathbb{R}^4$ generado por 
$\{(1, 0, 1, -1), (1, -1, 1, -1)\}$ coincide 
con el espacio de soluciones del sistema: 
$$
\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1 &\ &+x_3 &+2x_4 &= 0\\ 
x_1 &&-x_3 &&= 0\end{array}\right\}\subset 
\mathbb{R}^4.$$ 

\vspace{0.2cm}

\n Comprobar que los subespacios $S_1$ y $S_2$ de $\mathbb{R}^5$ cuyas ecuaciones son los sistemas: 
$$\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1& +x_2 &+x_3 &+x_4& +x_5 &= 0\\
x_1& -x_2 &+x_3& -x_4& +x_5 &= 0
\end{array}\right\} \equiv S_1 \qquad
\left.\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c} 
3x_1 &-x_2 &+3x_3 &-x_4 &+3x_5 &= 0\\
3x_1 &+x_2 &+3x_3 &+x_4 &+3x_5 &= 0 \end{array}\right\} \equiv S_2$$
son iguales.

\vspace{0.2cm}


\n Hallar las ecuaciones cartesianas de los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^4$: 
$$\begin{array}{c@{\hspace{2pt}}l}
S_1 =& \operatorname{Span}\{(1, 0, 1, 0),(2, 1, 0, -1)(1, -1, 3, 1)\},\\[+2pt]
S_2 = & \operatorname{Span}\{(3, 1, 0, -1),(1, 1, -1, -1), (7, 1, 2, -1)\},\\[+2pt]
S_3 = & \operatorname{Span}\{(0, 2, 5, 0)\}.
\end{array}$$ 

\vspace{0.2cm}

\n Hallar las ecuaciones cartesianas de los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^5$: 
$$\begin{array}{c@{\hspace{2pt}}l}
S_1 =& \operatorname{Span}\{(1, 0, 1, 0, 1)(0, 1, 1, 0, 1)(1, 1, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1)(0, -1, 1, 2, 1)\},\\ [+4pt]
S_2 =& \operatorname{Span}\{(1, 0, 1, 0, 0)(2, 1, 0, -1, 1)(2, 0, 1, 0, 0), (3, 1, 0, -1, 1)\}
\end{array}$$

\vspace{0.2cm}


\n Siendo $S_1 = \operatorname{Span}\{(1, -5, 2, 0)(1, -1, 0, 2)\}$ y $S_2 = \mathcal L\{(3, -5, 2, 1)(2, 0, 0, 1)\}$, 
hallar una base 
y las ecuaciones cartesianas de $S_1 + S_2$ y de $S_1\cap S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n Siendo $S_1 = \mathcal L\{(1, 0, 1, 0)(2, 1, 0, -1)\}$ y $S_2 = \mathcal L\{(3, 1, 0, -1)(1, 1, -1, -1)\}$, 
hallar una base y las ecuaciones cartesianas de $S_1 + S_2$ y de $S_1\cap S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n Sean $$S_1 = 
\operatorname{Span}\{(1, 0, 1, 0, 1)(2, 1, 0, -1, 0)(2, 0, 1, 0, 1)\}\quad y \quad S_2 = 
\operatorname{Span}\{(3, 1, 0, -1, 0)(1, 1, -1, -1, -1)\}.$$ 
Comprobar que $S_1 + S_2 = S_1$ y $ S_1\cap S_2 = S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n  Siendo $S_1 = 
\operatorname{Span}\{(1, 1, 2, 0)(-2, 0, 1, 3)\}$ y $S_2 = \operatorname{Span}\{(0, 2, 5, 0)(-1, 1, 3, 2)\}$, 
hallar una base y 
las ecuaciones cartesianas de $S_1 + S_2$ y $S_1\cap S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n Siendo $S_1 = 
\operatorname{Span}\{(0, 1, 1, 0)(1, 0, 0, 1)\}$ y 
$$S_2 \equiv\left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1& +x_2& +x_3& +x_4 &= 0 \\
x_1 &+x_2 &&&= 0\end{array} \right.$$
hallar una base y las ecuaciones cartesianas de $S_1 + S_2$ y $S_1\cap S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n Siendo  
$$S_1 \equiv\left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c} 
x_1 && -x_3 &&= 0\\ 
& x_2 & &-x_4&  = 0\end{array}\right.\qquad 
y \qquad 
S_2 \equiv\left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c} 
x_1 &+x_2 &+x_3 &+x_4 &= 0\\ 
x_1 &+x_2&&& = 0\end{array}\right.$$
hallar una base y las ecuaciones cartesianas de $S_1 + S_2$ y $S_1\cap S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n  Siendo $F_1$ el plano de ecuaci\'on $x + 2y 
- z = 0$ y $F_2$ la recta de ecuaciones 
$$\left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x& -y &+2z &= 0\\ 
-2x &+2y& +z &= 0\end{array}\right.$$
averiguar si son complementarios. 

\vspace{0.2cm}

\n   Siendo 
$V_1 = 
\operatorname{Span}\{(1, 1, 0), (1, 0, 1)\}$ y $V_2 = \operatorname{Span}\{(0, 1, 1)\}$, averiguar si son complementarios. 
\vspace{0.2cm}

\n   Comprobar que son complementarios los subespacios definidos por las ecuaciones: 
$$S_1 \equiv
\left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
-2x_1&-5x_2& +4x_3 &&= 0\\ 
-2x_1 &+7x_2 &&+4x_4 &= 0 \end{array}\right.
\qquad 
S_2 \equiv \left\{\begin{array}{c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}c}
x_1 &+2x_2&& +x_4& = 0\\ 
x_1 & -2x_2 &+x_3&& = 0
\end{array}\right.$$

\vspace{0.2cm}

\n Hallar una base y las ecuaciones cartesianas de un espacio complementario de 

\apartado $S_1 = 
\operatorname{Span}\{(0, 2, 5, 0),(-1, 1, 3, 2)\}$.

\apartado $S_2 = 
\operatorname{Span}\{(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 0),(0, 0, 1, 1),(0, 1, 0, 1)\}$. 
\vspace{0.2cm}

\n Hallar una base de $S_1\cap S_2$ donde 
$$S_1 = 
\operatorname{Span} \left\{
\left( \begin{matrix}
1 &1 \\
0 &0\end{matrix}\right),
\left( \begin{matrix}
0 &1 \\
1 &0\end{matrix}\right) ,
\left( \begin{matrix}
0 &0 \\
1 &1 \end{matrix}\right)\right\}\qquad S_2 = 
\operatorname{Span} \left\{
\left( \begin{matrix} 
1 &0 \\
1& 0\end{matrix}\right),
\left( \begin{matrix}
1 &-1 \\
0 &0\end{matrix}\right),
\left( \begin{matrix}
0 &1 \\
-1& 0\end{matrix}\right)\right\}$$
?`C\'ual es $S_1 + S_2$ ?

\vspace{0.2cm}

\n Hallar una base de $S_1 \cap S_2$ y de $S_1 + S_2$, donde 
$$S_1 = 
\operatorname{Span} \left\{
\left( \begin{matrix}
1 &1 \\
0 &0
\end{matrix}\right),
\left( \begin{matrix}
0 &0 \\
1 &1
\end{matrix}\right)\right\} \qquad
S_2 = 
\operatorname{Span} \left\{
\left( \begin{matrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{matrix}\right),
\left( \begin{matrix}
0 &1\\ 
1 &0
\end{matrix}\right)\right\}.$$
Hallar tambi\'en las ecuaciones cartesianas de $S_1\cap S_2$ y de $S_1 + S_2$.

\vspace{0.2cm}

\n En $\mathcal{M}_{2\times 2} (\mathbb{R})$ se consideran los subespacios que conmutan con cada una de las siguientes 
matrices: 
$$A =\left(\begin{matrix}
1& 1\\ 
0 &2\end{matrix}\right)
\qquad B =\left(\begin{matrix}
1 &1\\ 
1 &1\end{matrix}\right).$$

\apartado Hallar una base de cada uno de ellos, de su suma y de su intersecci\'on.
 
\apartado Hallar una base de un espacio complementario del subespacio de las matrices que conmutan con $A$. 

\bigskip

\n Sea
$$M =\left(\begin{matrix}
1 &0& 0\\ 
0 &2 &0\\ 
0& 0 &1 \end{matrix}\right).$$ Dados los subespacios vectoriales $S_1 = \{A|AM = A\}$ y $S_2 = \{B|M B = B\}$. 
Encontrar dimensiones y bases de $S_1\cap S_2$ y de $S_1 + S_2$. 

\bigskip

\n Hallar los subespacios suma e intersecci\'on de los siguientes subespacios de las matrices 
cuadradas de orden $n$:

\apartado El subespacio de las matrices triangulares superiores de orden $n$ y el subespacio de las matrices 
triangulares inferiores. 

\apartado El subespacio de las matrices sim\'etricas de orden $n$ y el subespacio de las matrices antisim\'etricas de orden $n$. 

\bigskip

\n Consideramos los subespacios del espacio de polinomios de grado $\leq 3$ $S_1$, formado por los polinomios m\'ultiplos de $x+1$, y $S_2$, formado por los polinomios m\'ultiplos de $x-1$. Hallar los subespacios suma e intersecci\'on de $S_1$ y $S_2$. 

\bigskip

\n En $\mathbb{R}^4$ sean $U = 
\operatorname{Span}\{u_1 , u_2 \}$ y $V = \operatorname{Span}\{v_1 , v_2 \}$ donde 
$$u_1 = (1, 1, 2,-\lambda), \quad u_2 = (-1, 1, 0, -\lambda), \quad v_1 = (1, \lambda, 2, -\lambda), \quad v_2 = (2, 3, \lambda, 1).$$ 
Hallar seg\'un los valores de $\lambda$ las dimensiones de $U$ , $V$, $U + V$ y  $U \cap  V$. 



\end{document}