\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\n}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema})\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   }


%% Abreviaturas comunes (para evitar usar misMacros.mcr)
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\df}{\mathop=\limits^{\sf def}}

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\setlength{\parindent}{0pt}
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\begin{document}


\begin{center}{\bf {\Large \'ALGEBRA I. HOJA 4}}\end{center}



\vspace{0.3cm}

\


Problemas de LADW pp. 16-17, 3.1-3.5.

\

Problemas de LADW pp. 23, 5.1-5.8.

\



\n   ¿Es cierto que $AB=0\Rightarrow BA=0$? 
   

    \n Hallar las matrices $2\times 2$ reales tales que su cuadrado
es $-I$.

    \n
    Siendo
    $$
    A=\left(
\begin{array}{cc}
  1 & 1 \\
  0 & 1 \\
  1 & 1 \\
\end{array}
\right)=(C_1,C_2),\ B=\left(
\begin{array}{cc}
  2 & -4 \\
  4 & 5 \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
  F_1 \\
  F_2 \\
\end{array}
\right),
    $$
    comprobar que $AB=C_1F_1+C_2F_2$. Generalizar este resultado
    para matrices de dimensiones multiplicables.
    
    \n ¿Qué transformación tiene lugar en la matriz $C$ dada a
    continuación cuando la multiplicamos por la matriz diagonal
    $D$, también dada a continuación?
    $$
    C=\left(
\begin{array}{ccc}
  6 & -2 & 0 \\
  2 & 0 & 1 \\
  1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right),\ D=\left(
\begin{array}{ccc}
  2 & 0 & 0 \\
  0 & 4 & 0 \\
  0 & 0 & 6 \\
\end{array}
\right)
$$
    ¿Cuáles son las matrices diagonales que conmutan con todas las
    demás?
    
    \n Demostrar que una matriz que no es diagonal no conmuta
    con todas las demás. Deducir de este ejercicio y del anterior
    la forma de las matrices que conmutan con todas las demás.
    
    \n Multiplicando las dos matrices $A$ y $B$ dadas a
    continuacián,
    $$
    A=\left(
\begin{array}{ccc}
  2 & 4 & 0 \\
  5 & 0 & 3 \\
  0 & 1 & 1 \\
\end{array}%
\right),\ B=\left(
\begin{array}{ccc}
  6 & -2 & 0 \\
  2 & 0 & 1 \\
  1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right),
    $$
    comprobar que:
    \begin{enumerate}
        \item [a)] La primera fila del producto $AB$ es la suma de
        las filas de $B$, multiplicadas por los números de la
        primera fila de $A$, considerados como coeficientes.
        \item [b)] La primera columna de $AB$ es la suma de las
        columnas de $A$, multiplicadas por los números de la
        primera columna de $B$, considerados como coeficientes.
    \end{enumerate}
    ¿Qué ocurre análogamente con las demás filas y columnas del
    producto?
    
    \n
     Se llaman matrices elementales a las obtenidas de la
    matriz identidad, haciendo alguna de las siguientes
    transformaciones:
    \begin{enumerate}
        \item [a)] Permutación de dos filas.
        \item [b)] Suma de una fila por otra (distinta),
        multiplicada por un número.
        \item [c)] Multiplicación de una fila por un número
        distinto de cero.
    \end{enumerate}
    Escribir todas las matrices elementales $3\times 3$.

    Escoger una matriz cualquiera de números y comprobar que al
    multiplicar esta matriz por otra elemental por la izquierda,
    se realiza en la matriz escogida, la transformación que había
    tenido lugar para obtener la matriz elemental. Generalizar el
    resultado.

    \n Una matriz \textit{simétrica} (respectivamente, \textit{antisimétrica}) es aquella que cumple
    $A={}^tA$ (respectivamente, $A={-}^tA$), siendo ${}^tA = A^T$ la matriz traspuesta de $A$. 
    
    Probar
    que una matriz antisimétrica tiene nulos todos los elementos
    en la diagonal principal.
    
    \n Una matriz que es simétrica y antisimétrica ha de ser la
    matriz nula (todos sus elementos son 0).
    
    \n Probar que:
    \begin{enumerate}
        \item Dada una matriz cuadrada $A$, la matriz
        $1/2(A+{}^tA)$ es simétrica.
        \item Dada una matriz cuadrada $A$, la matriz
        $1/2(A-{}^tA)$ es antisimétrica.
        \item Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma
        de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
    \end{enumerate}

    Entre las matrices cuadradas complejas se definen las matrices
    \textit{hermíticas} como aquellas que verifican
    $a_{ij}=\overline{a_{ji}}\,\forall ij$ (o bien,
    $A=\overline{{}^tA}$). Respectivamente, las
    \textit{antihermíticas} como aquellas que verifican
    $A=-\overline{{}^tA}$.

    Probar como ejercicios que:
    
    \n Una matriz hermítica tiene todos los elementos de la
    diagonal principal reales.
    
    \n Una matriz antihermítica tiene todos los elementos de la
    diagonal principal imaginarios puros.
    
    \n Una matriz a la vez hermítica y antihermítica ha de ser
    la matriz nula.
    
    \n Toda matriz cuadrada compleja se puede escribir como
    suma de una matriz hermítica y otra antihermítica.
    
    \n Comprobar que el producto de matrices simétricas no es
    necesariamente una matriz simétrica, realizando el producto
    $AB$ en el caso a):
    \begin{enumerate}
        \item $A=\left(%
\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0 \\
\end{array}%
\right)\ \left(%
\begin{array}{ccc}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 2 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
\end{array}%
\right)$.

Sin embargo, sí es simétrico en el caso:

        \item $A=\left(%
\begin{array}{ccc}
  1 & 4 & 1 \\
  4 & 3 & 4 \\
  1 & 4 & 1 \\
\end{array}%
\right)\ \left(%
\begin{array}{ccc}
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0 \\
\end{array}%
\right)$.
    \end{enumerate}

    Comprobar que en el caso a), $AB={}^t(BA)$, mientras que en el
    caso b), $AB=BA$ (esto es, $A$ y $B$ \textit{conmutan}).

    \n Demostrar que dadas dos matrices simétricas $A$ y $B$,
    conmutan si y sólo si su producto es una matriz simétrica.
    Encontrar matrices simétricas que conmuten y que no distintas
    de las del ejercicio anterior.
    
    \n Probar que si $A$ es simétrica y $B$ antisimétrica, $A$
    y $B$ conmutan si y sólo si su producto es una matriz
    antisimétrica.
    
    \n Demostrar que toda matriz simétrica real o compleja $2\times 2$ que
    conmute con
    $$
    \left(%
\begin{array}{cc}
  1 & 1 \\
  0 & 1 \\
\end{array}%
\right)
$$
    es un múltiplo de la identidad.
    
    
    \n Idem para la matriz $3\times 3$
$$
\left(%
\begin{array}{ccc}
  1 & 1 & 0 \\
  0 & 1 & 1 \\
  0 & 0 & 1 \\
\end{array}%
\right).
$$

\end{document}


