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%\hyphenation{va-rie-da-des
%va-rie-dad pa-ra-le-lo a-si-mi-la a-pro-ve-cha-bles u-ni-for-me
%u-ni-for-me-men-te si-guien-te si-guien-tes re-su-mien-do
%ha-bi-tua-les}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Para empezar una interrogativa: ?`  %%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Para partir una matriz en cajas:         %%%%%
%% \[ \left(\begin{array}{c|c} A&B          %%%%%
%% \\ \cline{1-2} C&D\end{array}\right) \]  %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{nroproblema}
\setcounter{nroproblema}{1}
\newcounter{nroapartado}
\setcounter{nroapartado}{1}
\newcommand{\ejer}{%
    \vspace{.1in}\noindent{\bf \arabic{nroproblema}.\ }%
    \addtocounter{nroproblema}{1}%
    \setcounter{nroapartado}{1}%
    }%
\newcommand{\apartado}{\vspace*{0.2cm}\hspace*{0.2cm}%
   {\bf \alph{nroapartado})}
   \addtocounter{nroapartado}{1}%
   } 


\begin{document}

\small

\noindent{\sf Universidad Aut\'onoma de Madrid  \hfill \'Algebra II. Curso 2016-17} \vspace{0.1cm} \hrule \vspace{0.1cm} \noindent{\sf
F\'{\i}sica} \vspace{-0.1cm}
\begin{center}
{\sf\bfseries {\large \'ALGEBRA II}}
\end{center}
{\sf Hoja 8.  Aplicaciones ortogonales y unitarias}
\vspace{0.1cm} \hrule 

\vspace{0.6cm}

%Ejercicio 11.1.1 pag 17 de David V5
\ejer Sean $f_1: {\mathbb R}^2\to    {\mathbb R}^2$ y $f_2:  {\mathbb R}^3\to  {\mathbb R}^3$ dos endomorfismos cuyas matrices  en las bases can\'onicas de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ respectivamente son: \begin{enumerate}
\item[a)] $M(f_1)=\left ( \begin{array}{rr}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)$
\item[c)] $M(f_2)=\left ( \begin{array}{rrr}
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)$ 
\end{enumerate}
Decida de manera razonada si son ortogonales. 

\ejer Considera el  endomorfismo $f: {\mathbb C}^2 \to {\mathbb C}^2$  cuya matriz referida a la base can\'onica de ${\mathbb C}^2$ es:
$$\left(\begin{array}{cc} 
\frac{1+i}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt 3} \\
  & \\ 
 \frac{i}{\sqrt 3}  &  \frac{-1-i}{\sqrt{3}}
 \end{array}\right).$$
 Suponemos  el producto escalar usual. 
 
\apartado Decide de manera razonada si $f$ es una aplicaci\'on  unitaria. 

\apartado Encuentra una base ortonormal respecto a la que la matriz de $f$ sea diagonal. 

%Ejercicio 11.3.2 pag 21 David V5

\ejer Clasifica las siguientes aplicaciones ortogonales de   $\mathbb{R}^3$ dando todos sus elementos geom\'etricos. 
\begin{enumerate}
\item[a)] $A=\left ( \begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)$
\item[b)] $A=\left ( \begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{array}\right)$ 
\item[c)] $A=\left ( \begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{array}\right)$ 
\item[d)] $A=\frac{1}{7}\left ( \begin{array}{rrr}
2 & 6 & 3\\
3 & 2 & -6\\
6 & -3 & 2
\end{array}\right)$ 
\end{enumerate}

% Ejercicio 11.3.3 pag 22 David V5

\ejer Escribe la matriz de la simetr\'{\i}a ortogonal de $\mathbb{R}^3$ respecto a la recta engendrada por el vector $(1,1,1)$.

% Ejercicio 11. 3.3 pag 24 David V5

\ejer Definimos una aplicaci\'on lineal $T$ realizando primero una rotaci\'on con respecto al eje generado por
  $ (1,1,1)$, y a continuaci\'on una  simetr\'{\i}a ortogonal con respecto al plano de rotaci\'on (el plano ortogonal
al eje de rotaci\'on).  
Sabiendo que  $T (2,1,0) = (-1,0,-2)$, hallar la matriz  (en forma can\'onica) que representa a $T$ con
 respecto a una BON adecuada. Adem\'as, hallar la matriz $A$ que representa a $T$ con respecto a la base can\'onica.

\ejer Sea $V={\mathbb R}^2$. Decide de manera razonada el resultado de componer: 

\apartado Dos rotaciones en $V$.

\apartado Dos simetr\'{\i}as en $V$. 

\apartado Una rotaci\'on con una simetr\'{\i}a. 


\end{document}


