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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


En esta hoja estudiaremos
la  fórmula de Euler-Maclaurin
que fue concebida inicialmente por Euler como un método para mejorar las aproximaciones numéricas de algunas series \cite{ferraro}. Aunque admite una deducción elemental \cite{apostol_EM}, aquí daremos un rodeo para entenderla mejor y obtener resultados relacionados con tu trabajo.

Antes de comenzar es conveniente que recuerdas o aprendas que la notación $\zeta(s)$ representa la serie $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$. Nosotros solo vamos a tomar $s\in\N$ par. Por si te han hablado de ello, curiosamente el estudio de la distribución de los primos requiere considerar $\zeta(s)$ como una función de variable compleja, a la que se llama \emph{función $\zeta$ de Riemann}.

Esencialmente
la  fórmula de Euler-Maclaurin indica cuánto difiere una suma de una integral. Con esta idea en mente, para $a\le b$ enteros y $f$ una función integrable en $[a,b]$ introducimos la abreviatura
\[
 E(f,a,b)
 =
 \sum_{n=a}^b
 f(n)
 -
 \int_a^b f(t)\, dt
 -
 \frac{f(a)+f(b)}{2}.
\]
Si  te gusta el cálculo numérico te habrás percatado de que este es el error cambiado de signo en la \emph{regla del trapecio} \cite[\S5.1]{atkinson} cuando el paso es~$1$.

\medskip

La  fórmula de Euler-Maclaurin
depende de un parámetro $N\in\Z_{\ge 0}$. El siguiente ejercicio corresponde al caso $N=0$ que es el más sencillo y también el más usado. Tanto es así, que algunos autores llaman fórmula de Euler-Maclaurin solo a este caso.

\ejer
Demuestra que para $a\le b$ enteros y $f\in C^1([a,b])$ se cumple
\[
 E(f,a,b)
 =
 \int_a^b
 \psi(t) f'(t)\, dt
 \qquad\text{con}\quad
 \psi(x)=x-\lfloor x\rfloor -\frac{1}{2}.
\]
{\sf Indicación:}
Integra por partes
$\int_n^{n+1} \psi(t)f'(t)\, dt$
y suma en $n$.
\medskip

La función $\psi$ es integrable de periodo $1$ y, por tanto, tiene una serie de Fourier.
La solución del siguiente ejercicio se reduce prácticamente a una cita al último de la hoja anterior, que,
aunque el análisis no sea tu tema favorito, deberías haber completado fácilmente, quizá con la ayuda de \cite{DyMc}, \cite{folland}, \cite{korner} u otras fuentes.

\ejer
Muestra que la serie de Fourier de $\psi$ es 
$\sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{\pi n}\sen(2\pi nx)$.
\medskip

La teoría asegura que la $\psi(x)$ coincide con su serie de Fourier salvo en los puntos de discontinuidad $x\in\Z$. A pesar de que esta serie no es absolutamente convergente, la teoría también asegura que podemos integrar término a término porque el factor $1/n^2$ que sale al integrar elimina cualquier problema de convergencia.
El único propósito del siguiente problema, que da el caso $N=1$ de la fórmula, es allanar el camino para probar el Teorema~\ref{EM1}. Si andas escaso de espacio lo puedes omitir en tu trabajo.

\ejer
Sustituyendo la serie de Fourier en $\int_a^b\psi(t) f'(t)\, dt$ e integrando por partes dos veces, deduce
 \[
 E(f,a,b)
 =
 \frac{\zeta(2)}{2\pi^2}
 \big(
 f'(b)-f'(a)
 \big)
 +
  2
  \sum_{n=1}^\infty
  \int_a^b
  \frac{\sen(2\pi n t)}{(2\pi n)^{3}}
  f'''(t)\, dt.
 \]
\medskip

Con esto ya tienes los ingredientes para abordar el caso general.


\begin{theorem}[Euler-Maclaurin, 1.ª versión]\label{EM1}
 Para $a\le b$ enteros, $N\in\Z_{\ge 0}$ y $f\in C^{2N+1}([a,b])$ se cumple
 \[
 E(f,a,b)
 =
 \sum_{n=1}^N
 c_n
 \big(
 f^{(2n-1)}(b)-f^{(2n-1)}(a)
 \big)
 +R_N
 \]
 donde
 \[
  c_n=
  \frac{2(-1)^{n+1}}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
  \qquad\text{y}\qquad
  R_N=
  2(-1)^{N+1}
  \int_a^b
  \sum_{n=1}^\infty
  \frac{\sen(2\pi n t)}{(2\pi n)^{2N+1}}
  f^{(2N+1)}(t)\, dt.
 \]
\end{theorem}

Para $N=0$ entendemos (como es habitual) que una suma vacía es nula. Para $N>0$ está claro que en $R_N$ suma e integral se pueden intercambiar por la convergencia uniforme.



\ejer
Demuestra el Teorema~\ref{EM1} por inducción en $N$.
\medskip

En cierto modo, ahora vamos a pasar de métodos analíticos a métodos algebraicos, pues vamos a sustituir la serie infinita por ciertos polinomios de $\Q[x]$ y $c_n$ por sus términos independientes. Con ello obtendremos una nueva versión más común  de la fórmula de Euler-Maclaurin.
Dichos polinomios son los llamados \emph{polinomios de Bernoulli} $B_m(x)$. Una manera de definirlos es por medio de la recurrencia
\[
 B_{m+1}(x)
 =
 (m+1)
 \int_0^x B_m(t)\, dt
 -
 (m+1)
 \int_0^1\int_0^t B_m(u)\, dudt
 \qquad\text{con}\quad B_1(x)=x-\frac 12.
\]
Esto no es tan complicado como parece, en palabras la receta es: integrar $B_m$, multiplicar por $m+1$ y añadir una constante (ajustar la constante de integración) para que $\int_0^1 B_{m+1}$ se anule. Nota que $B_m$ tiene grado $m$ y está en $\Q[x]$. Se llaman \emph{números de Bernoulli} a sus términos independientes $b_m=B_m(0)$. El siguiente ejercicio servirá para comprobar que has entendido que el proceso es sencillo. Lo mismo prefieres hacer un programa para resolverlo (si no sabes cómo incluir un listado de código en un documento \LaTeX{}, en {\small\url{https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/supervision/TFG/enlaces.html}} hay una plantilla).

\ejer
Calcula $B_m$ y $b_m$ para $1\le m\le 5$.
\medskip

Una curiosidad es que, en contra de lo que sugieren los primeros valores, a la larga los números de Bernoulli de índice par tienen un crecimiento muy rápido. Por ejemplo, la parte entera de $b_{200}$ tiene más de~200 cifras.
Por otro lado, se puede probar que los de índice impar son todos nulos excepto $b_1$.
\smallskip


Con estas definiciones, 
la fórmula de Euler-Maclaurin adquiere un enunciado algo más compacto. También es más próximo al original, aunque ni Euler ni Maclaurin se preocuparon por el término integral de error \cite{mills}.



\begin{theorem}[Euler-Maclaurin, 2.ª versión]\label{EM2}
 Para $a\le b$ enteros, $N\in\Z_{\ge 0}$ y $f\in C^{2N+1}([a,b])$ se cumple
 \[
 E(f,a,b)
 =
 \sum_{n=1}^N
 \frac{b_{2n}}{(2n)!}
 \big(
 f^{(2n-1)}(b)-f^{(2n-1)}(a)
 \big)
 +
  \int_a^b
  B_{2N+1}(x-\lfloor x\rfloor)
  \frac{f^{(2N+1)}(t)}{(2N+1)!}\, dt.
 \]
\end{theorem}


La equivalencia entre ambas versiones depende de la relación entre los polinmios de Bernoulli y ciertas series de Fourier. 

\ejer
Demuestra que para todo $k\in\Z^+$ y $x\in [0,1]$ se tiene
\[
 \frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(x)}{2\, (2k)!}
 =
 \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{\cos(2\pi nx)}{(2\pi n)^{2k}}
 \qquad\text{y}\qquad
 \frac{(-1)^{k+1}B_{2k+1}(x)}{2\, (2k+1)!}
 =
 \sum_{n=1}^\infty 
 \frac{\sen(2\pi nx)}{(2\pi n)^{2k+1}}.
\]


\ejer 
Deduce el Teorema~\ref{EM2}.



\

Pasamos ahora a algunas aplicaciones. La primera es en realidad un subproducto de la prueba que has hecho más que de la fórmula en sí. Recuerda que el problema de Basilea, resuelto por Euler, consiste en la identidad $\zeta(2)=\pi^2/6$. Con lo que has aprendido, tenemos una fórmula general para $\zeta(2n)$. No se conocen fómulas similares para $\zeta(2n+1)$.

\ejer
Escribe una fórmula para $\zeta(2n)$ en términos de $b_{2n}$ para $n\in\Z^+$ y observa que $\zeta(2n)$ es un múltiplo racional de $\pi^{2n}$. Encuentra una relación entre  $\zeta(2n)$ y  $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k k^{-2n}$. Con ambos resultados da una fórmula para $B_{m}(1/2)$.
\medskip




Para la segunda aplicación, nota que
desde bachillerato sabes que $\sum_{k=1}^n k$ es $n(n+1)/2$ y en Conjuntos  y Números seguro que te mandaron probar $\sum_{k=1}^n k^2=\frac 16n(n+1)(2n+1)$  por inducción. La pregunta natural es qué ocurre para potencias mayores.

\ejer 
Aplica la fórmula de Euler-Maclaurin con $a=0$, $b=n$ y un $N$ adecuado para deducir la \emph{fórmula de Faulhaber} que afirma que para $n,m\in\Z^+$ se tiene 
\[
 \sum_{k=1}^n k^m 
 =
 \frac{2n^{m+1}+(m+1)n^m}{2m+2}
 +
 \sum_{k=1}^{\lfloor m/2\rfloor}
 \frac{b_{2k}}{2k}
 \binom{m}{2k-1}
 n^{m+1-2k}.
\]
Como ejemplo, obtén una fórmula explícita para $\sum_{k=1}^n k^5$.
\medskip

Si tienes curiosidad, en \cite{beardon} hay muchas referencias y comentarios históricos.
\medskip

La última aplicación va en la línea de lo que tenía en mente Euler al crear la fórmula.
Supongamos que queremos aproximar el valor de la serie 
\[
 S = \sum_{n=1}^\infty f(n)
 \qquad\text{donde}\quad 
 f(x)=\frac{1}{x^2+1}.
\]
En realidad, como veremos en otra hoja, $S$ se puede evaluar exactamente en términos de~$\pi$ y de~$e$ empleando técnicas de variable compleja, pero ahora pasamos eso por alto. Una posibilidad es tomar una suma parcial. Por ejemplo $S_{10}$, la suma de los diez primeros términos, que sería asequible con una calculadora (o con la habilidad numérica de Euler). Se cumple
\[
 S-S_{10}
 =\sum_{n=11}^\infty
 f(n)
 >\int_{11}^\infty f(t)\, dt
% =\frac{\pi}{2}-\arctan(11)
 = 0.0906\dots
\]
de modo que el error es mayor que 9 centésimas. Veamos como reducirlo drásticamente.

\ejer
Usando la fórmula de Euler-Maclaurin con $b\to\infty$, muestra
\[
 S= A+R_1
 \qquad\text{con}\quad
 A
 =
 S_{10}
 +
 \frac{\pi}{2}-\arctan(11)
 +
 \frac{1}{2}f(11)
 -
 \frac{1}{12}f'(11)
\]
donde $R_1$ es como en el Teorema~\ref{EM1}. Explica la desigualdad en
\[
 |S-A|=|R_1|\le
 \frac{2\zeta(3)}{(2\pi)^3}
 \int_{11}^\infty
 |f'''(t)|\, dt
 =
 \frac{2\zeta(3)}{(2\pi)^3}
 f''(11)=3.86\ldots \cdot 10^{-6}.
\]
La penúltima igualdad viene de que $-f'''$ es positiva y decreciente en $[11,\infty)$ (mira el siguiente ejercicio). En definitiva, pasando de $S_{10}$ a $A$ hemos reducido el error a menos de $4$ millonésimas. De hecho, un análisis más cuidadoso muestra que  el error es algo menor que $2\cdot 10^{-7}$.
\medskip

La última tarea es solo por si quieres aceptar el reto.

\ejer {\sf[Opcional]}
Prueba que $-f'''$ es positiva y decreciente en $[11,\infty)$ sin calcular $f'''$.
{\sf Indicación:}
Desarrolla $f(x)$ como $\sum a_n x^{-2n}$. Una alternativa, más extraña y directa, es usar fracciones simples complejas.


\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
De nuevo, debes escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores.
La extensión libre, aunque con la recomendación de no superar las seis páginas, sin contar ni bibliografía ni  código, si lo incluyes.
El resultado constituirá el segundo capítulo de tu TFG  llamado {\sl La fórmula de Euler-Maclaurin} o la variante que prefieras.

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{apostol_EM}
T.~M. Apostol.
\newblock An elementary view of {E}uler's summation formula.
\newblock {\em Amer. Math. Monthly}, 106(5):409--418, 1999.

\bibitem{atkinson}
K.~E. Atkinson.
\newblock {\em An introduction to numerical analysis}.
\newblock John Wiley \& Sons, Inc., New York, second edition, 1989.

\bibitem{beardon}
A.~F. Beardon.
\newblock Sums of powers of integers.
\newblock {\em Amer. Math. Monthly}, 103(3):201--213, 1996.

\bibitem{DyMc}
H.~Dym and H.~P. McKean.
\newblock {\em Fourier series and integrals}.
\newblock Probability and Mathematical Statistics, No. 14. Academic Press, New
  York-London, 1972.

\bibitem{ferraro}
G.~Ferraro.
\newblock Some aspects of {E}uler's theory of series: inexplicable functions
  and the {E}uler-{M}aclaurin summation formula.
\newblock {\em Historia Math.}, 25(3):290--317, 1998.

\bibitem{folland}
G.~B. Folland.
\newblock {\em Fourier analysis and its applications}.
\newblock The Wadsworth \& Brooks/Cole Mathematics Series. Wadsworth \&
  Brooks/Cole Advanced Books \& Software, Pacific Grove, CA, 1992.

\bibitem{korner}
T.~W. K\"{o}rner.
\newblock {\em Fourier analysis}.
\newblock Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press,
  Cambridge, 2022.
\newblock With a foreword by T. Tao.

\bibitem{mills}
S.~Mills.
\newblock The independent derivations by {L}eonhard {E}uler and {C}olin
  {M}aclaurin of the {E}uler-{M}aclaurin summation formula.
\newblock {\em Arch. Hist. Exact Sci.}, 33(1-3):1--13, 1985.

\end{thebibliography}


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%\bibliographystyle{plain}

\end{document}
