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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Si recuerdas, de tus experimentos cuando comenzamos con la definición de las fracciones continuas dedujiste que la fracción continua de $\pi$ no sigue ningún patrón (al menos que se conozca), mientras que la de $e$ sí que tiene una estructura clara. Concretamente es
\[
 e
 =
 [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots].
\]
A veces esto se abrevia con $e=[2,\overline{1,2n,1}]$, con una notación fácil de interpretar.

Hay dos cosas curiosas. A pesar de que la fracción continua de $e$ es sencilla de describir, las demostraciones conocidas no son nada directas. Por otro lado, muchas cantidades relacionados con $e$, por ejemplo  $e^{1/3}$, $(e-1)/2$ o $\tanh(1/2)$ también admiten fracciones continuas sencillas, lo que hace suponer que hay alguna idea general que se aplica a todos los casos.
\medskip

Movidos por lo dicho en el párrafo anterior, en esta hoja te voy a pedir que estudies dos pruebas de la fracción continua de $e$. La primera está en \cite{cohn} y es la más breve y sencilla de la que tengo noticia.
Por otro lado, es difícil entender su motivación y es poco generalizable (aunque existe \cite{osler}). A decir verdad, al final de \cite{cohn} hay una larga discusión intentando motivar la prueba pero seguramente si nunca has oído hablar de las \emph{aproximantes de Padé}, no creo que te inspire demasiado y no te voy a pedir que leas esa parte.
La segunda prueba que vamos a considerar está en \cite{walters} y es una variante moderna de ideas clásicas que vienen desde Euler, quien ya conocía la fracción continua de $e$ y otras relacionadas. Es más complicada que la de \cite{cohn}, pero tiene la ventaja de que es generalizable a cantidades relacionadas con $e$ y a otras que no lo parecen tanto.
En \cite{poorten} hay más material en este sentido, por si tienes curiosidad.

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Solo te propongo tres ejercicios. No deben darte una idea errónea acerca de la longitud de la hoja porque cada uno de ellos te requerirá leer y escribir unas cuantas cosas. Si se te echase el tiempo encima, te agobiara el fin de curso o tuvieras demasiado material para tu TFG, podemos reconsiderar el objetivo y quedarnos solo con una demostración, quizá con la más breve que es la que contempla el primer ejercicio.


\ejer
Lee la prueba de la fracción continua de $e$ incluida en $\S2$ de \cite{cohn}  y escríbela con tus propias palabras explicando con cuidado todo lo que no te parezca inmediato.

\medskip

Seguir los razonamientos de \cite{cohn} para el ejercicio anterior no creo que sea un reto muy grande, prácticamente son todo cosas de Cálculo~I. Otra cosa es que, como he dicho antes, la motivación no está muy clara. No te preocupes por ello y recuerda que no hace falta que leas esa parte.

\ejer
Haz lo mismo con la prueba incluida en \cite{walters}. La relación entre fracciones continuas y matrices ya ha aparecido en tu trabajo y te puedes referir a ella.

\medskip

Aquí el tema de la convergencia en la demostración del Teorema~1 te puede costar un poco. Trata de incluir alguna explicación adicional respecto a  \cite{walters}, que hace poco más que mencionar el teorema de Tannery (que es el de convergencia dominada aplicado a series).

\ejer
Siguiendo la parte final de \cite{walters},
escribe una prueba lo más breve que puedas de la fracción continua
$\tan 1 = [1,1,1,3,1,5,1,7\dots]$. Para abreviar, trata $k=1$ directamente sin considerar el caso de $k$ general.
¿Cuántas convergentes de $5+\tan 1$ y $\sqrt{43}$ coinciden?
Esto explica que estos dos números sean tan parecidos.





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\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
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\paragraph{Tarea a entregar.}
El objetivo está claro: debes escribir las dos demostraciones completas de la fracción continua de $e$ sin apelar a resultados fuera de tu trabajo.
Quizá puedes usar los epígrafes ``Una prueba relacionada con las aproximantes de Padé'' y ``Una prueba generalizable'' para separar el material de \cite{cohn} y \cite{walters}. Para ilustrar que realmente la última es generalizable, debes incluir la fracción continua de $\tan 1$.

La extensión es libre. Al ser la última hoja, tendrás información para decidirte al respecto en función de cuántas páginas ocupan las secciones anteriores y de las reducciones que podrías hacer, por ejemplo relegando algunas figuras o programas de tu trabajo a un apéndice.

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\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


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