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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Si uno calcula la fracción continua de los números que aparecen habitualmente en cursos de matemáticas, como $\pi$, $\sqrt[3]{2}$, $\log 2$, etc. lo más normal es que los \emph{cocientes parciales} (estos son los $a_n$, se me olvidó mencionar este nombre en la hoja anterior) no muestren ningún patrón. Hay algunas excepciones, por ejemplo el número $e$ y todos los \emph{irracionales cuadráticos} reales, los cuales constituyen la excepción más elegante. Como sugiere su nombre, estos son los números irracionales reales que resuelven ecuaciones $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c\in\Z$. Equivalentemente, son aquellos de la forma 
$A+B\sqrt{D}$
con $A,B\in\Q$, $D\in\Z^+$ donde $B\ne 0$ y $D$ no es un cuadrado perfecto, para asegurar que no sea racional. 
En esta hoja, veremos que estos números tienen fracciones continuas periódicas y que además sirven para resolver una ecuación diofántica famosa. 
\medskip

No es difícil ver que una fracción continua \emph{periódica pura}, es decir, con $a_{n+K}=a_n$ para todo $n\ge 0$ y cierto $K$, representa un irracional cuadrático $\alpha$.

\ejer
Demuéstralo. Para ello piensa que $\alpha$ resuelve la ecuación 
$\alpha=[a_0,a_1,\dots, a_{K-1}, \alpha]$. 
\medskip

Si la fracción continua es periódica pero no pura, esto es, si los cocientes parciales verifican $a_{n+K}=a_n$ para todo $n> n_0$ pero no en general, también se obtiene un irracional cuadrático~$\beta$. 

\ejer
Pruébalo usando que $\beta=[a_0,\dots,a_{n_0},\alpha]$. 
\medskip

El recíproco también se cumple: dado un irracional cuadrático real, siempre su fracción continua es periódica. A este resultado se le llama \emph{teorema de Lagrange} y no es en absoluto sencillo, aunque admita una prueba elemental. Por otro lado, es fácil comprobarlo en ejemplos particulares racionalizando para poder aplicar el algoritmo de las fracciones continuas de manera exacta. 

Por ejemplo, para $\alpha=\sqrt{2}$ el algoritmo es
\[
 \alpha_0=\sqrt{2}\ \Rightarrow\ a_0=1,
 \quad
 \alpha_1=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\ \Rightarrow\ a_1=2,
 \quad
 \alpha_2=\frac{1}{(\sqrt{2}+1)-2}=\dots
\]
y como $\alpha_1=\alpha_2$, se tiene $\sqrt{2}=[1,2,2,2,\dots]$. Esta es una fracción continua periódica pero no pura. Un ejemplo con fracción continua periódica pura es la razón áurea $\frac 12 (1+\sqrt{5})$. Ya vimos en la hoja anterior que era   $[1,1,1,\dots]$.

\ejer
Halla la fracción continua de $(3+\sqrt{21})/2$ dando expresiones exactas para los $\alpha_j$. 

\ejer
Escribe fórmulas generales para las fracciones continuas de $\sqrt{n^2+1}$ y de $n+\sqrt{n^2+n}$ con $n\in\Z^+$.
\medskip

La prueba del teorema de Lagrange es un poco fea y, sobre todo en libros antiguos, no tan breve. Para hacer el siguiente ejercicio te doy dos opciones, elige la que prefieras. La primera es que busques una prueba convencional como la de \cite{CiCo}, \cite{HaWr}, \cite{MiTa} o \cite{rose} (esta última está bastante abreviada). La segunda es que utilices la prueba muy breve del artículo\footnote{En \url{https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.118.02.171} te lo puedes descargar, con VPN de la UAM. Si tienes problemas, te lo envío.}
\cite{northshield}. 

\ejer
Escribe una prueba del teorema de Lagrange con todas las explicaciones que consideres necesarias. 
\medskip

Si te decides por la segunda opción, en la demostración hay que permitir definir fracciones continuas que comienzan con varios ceros iniciales, perdiendo la unicidad. Así $[0,0,a_0,a_1,\dots] = [a_0,a_1,\dots]$. Admitiendo esto, la función $f(x)=x-1$ para $x\ge 1$ y $f(x)=x/(x-1)$ para $x<1$ reduce en uno el primer $a_j$ no nulo. Si ves esto claro, la prueba del teorema de Lagrange se reduce a la primera mitad de la página~172 de \cite{northshield}. Es la más breve que conozco, aunque las explicaciones son algo sucintas y quizá te cueste convencerte.

\

Una de las aplicaciones principales de las fracciones continuas de irracionales cuadráticos, concretamente de las de $\sqrt{D}$, es la solución de la \emph{ecuación de Pell}
\[
 x^2-Dy^2=1
 \qquad\text{donde}\quad D\in\Z^+\text{ y }\sqrt{D}\not\in\Z.
\]
Con un argumento basado en el principio del palomar, se prueba en teoría de números que siempre tiene solución no trivial en enteros, es decir, con $x\in\Z$ e $y\in\Z-\{0\}$. De hecho siempre hay infinitas. No veo totalmente necesario incluir en tu trabajo la prueba de la existencia de al menos una solución no trivial para no dar un rodeo. Si opinas lo contrario o tienes interés, una prueba de este tipo está en \cite[\S21.6]{stoll}. En lo que quiero que nos centremos aquí es en el algoritmo para hallar las soluciones basado en fracciones continuas. Nos fijaremos en las soluciones positivas $x,y\in\Z^+$ porque está claro que el resto solo requieren cambiar los signos arbitrariamente. El resultado fundamental es que las soluciones positivas $(x,y)$ siempre provienen del numerador y el denominador de convergentes de $\sqrt{D}$. Aunque no investigaremos exactamente de qué convergentes provienen, porque haremos algo computacionalmente mejor,  vamos con un problema experimental para que te hagas una idea de la situación. 

\ejer
¿Qué convergentes $p_n/q_n$ de $\sqrt{2}$ dan soluciones positivas $x=p_n$, $y=q_n$ de $x^2-2y^2=1$? Haz lo mismo con $\sqrt{7}$ y $x^2-7y^2=1$. No es necesario que intentes probar matemáticamente estos resultados, solo quiero que hagas los experimentos (por si quieres tomártelas como un reto, las pruebas son asequibles).


\ejer
Sabiendo que las soluciones siempre vienen de convergentes, halla, con la ayuda de un ordenador, una solución no trivial de 
$x^2-331y^2=1$. 

Cualquiera de ellas es tan inmensamente grande que una búsqueda directa dando valores con un ordenador, sin usar fracciones continuas, sería inviable. Si todavía no te impresiona, prueba con $2011$ en lugar de $331$. En teoría de números todavía no se entiende bien este fenómeno de que para algunos $D$ esporádicamente todas las soluciones  sean desmesuradas. Tiene relación con problemas de factorización en ciertos anillos.  
\medskip

La clave por la que las soluciones siempre vengan de convergentes, está en el siguiente resultado de fracciones continuas que veremos\footnote{Mira \cite[21.11]{stoll} si no quieres esperar.} en la hoja~4 junto con otras propiedades de aproximación:

\begin{quotation}
 Si $\alpha\in \R$ es irracional y $p/q$ es una fracción irreducible tal que $2q^2\big|\alpha-p/q\big|<1$, necesariamente $p/q$ es una convergente de $\alpha$. 
\end{quotation}
 

Entonces, justificar nuestro algoritmo para resolver la ecuación de Pell mediante convergentes de $\sqrt{D}$ requiere resolver el siguiente ejercicio:
 
\ejer
Prueba que si $(x,y)$ es una solución positiva de la ecuación de Pell $x^2-Dy^2=1$, entonces $2y^2\big|\sqrt{D}-x/y\big|=1$. Para ello te recomiendo que consideres la factorización $(x-y\sqrt{D})(x+y\sqrt{D})=1$ y que distingas los casos $D\ge 4$ y $D=2,3$. 
\medskip



Ahora vamos a perfeccionar el algoritmo caracterizando todas las soluciones en términos de una sola convergente. Concretamente, probaremos:
\begin{quotation}
 Sea $p/q$ la primera convergente de $\sqrt{D}$ que cumple $p^2-Dq^2=1$, entonces todas las soluciones positivas $(x,y)$ de la ecuación de Pell vienen dadas por
 \[
  x+y\sqrt{D}=(p+q\sqrt{D})^n
  \qquad\text{con}\quad n\in\Z^+.
 \]
\end{quotation}
Esto se puede escribir también como 
\[
 x=
 \frac{(p+q\sqrt{D})^n+(p-q\sqrt{D})^n}{2},
 \qquad
 y=
 \frac{(p+q\sqrt{D})^n-(p-q\sqrt{D})^n}{2\sqrt{D}}.
\]
Y de forma todavía más algorítmica, diciendo que todas las soluciones positivas vienen dadas por la sucesión $\big\{(x_n,y_n)\big\}_{n=1}^\infty$ que cumple la recurrencia
\[
 \begin{cases}
  x_{n+1}=px_n+Dqy_n,
  \\
  y_{n+1}=qx_n+py_n,
 \end{cases}
 \qquad\text{con}\quad (x_0,y_0)=(1,0).
\]

\ejer
Convéncete de que las tres maneras de expresar las soluciones son equivalentes. 
\smallskip

No hace falta que reflejes este último ejercicio en tu trabajo ni en la entrega, solo que si alguna vez usas una forma de las soluciones que no sea la primera, te servirá para escribir alguna frase justificándola. 
\medskip

El único cabo suelto para probar el resultado anterior, en la forma $(p+q\sqrt{D})^n$, es resolver el siguiente ejercicio (si no ves claro que es lo único que falta, piénsalo antes de hacerlo):

\ejer
Demuestra que si $(x_1,y_1)$ es la solución positiva de $x^2-Dy^2=1$ con $x_1+y_1\sqrt{D}$ lo menor posible, entonces todas las soluciones positivas son 
$x+y\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^n$ con $n\in\Z^+$. 
Para ello, te sugiero proceder por reducción al absurdo: supón que hay una solución positiva
$(\widetilde{x}, \widetilde{y})$ que no es de esta forma, elige $n_1$ tal que 
$\widetilde{x}_1+\widetilde{y}_1\sqrt{D}=(\widetilde{x}+\widetilde{y}\sqrt{D})(x_1+y_1\sqrt{D})^{-n_1}$
satisface $1<\widetilde{x}_1+\widetilde{y}_1\sqrt{D}<x_1+y_1\sqrt{D}$ y prueba que 
$(\widetilde{x}_1, \widetilde{y}_1)$ es solución positiva, lo cual contradice la definición de $(x_1,y_1)$.
\medskip

La teoría para $x^2-Dy^2=-1$ es muy similar a la de la ecuación de Pell con la única gran diferencia de que esta ecuación no siempre tiene solución (por ejemplo $x^2-3y^2\ne -1$) y no se saben caracterizar los $D$ para los que esto ocurre. Suponiendo que la hay, las fórmulas anteriores funcionan, prácticamente con la misma prueba, con la salvedad de restringir $n$ a los impares. Por ejemplo, todas las soluciones positivas de $x^2-2y^2=-1$ vienen dadas por 
\[
 x+y\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^n
 \qquad\text{con $n$ impar}.
\]




\

Lo que resta de hoja, trata sobre la evaluación de una serie infinita. Aunque tiene relación con lo visto aquí, se podría pasar al capítulo siguiente si lo prefieres. 

Consideremos la serie
\[
 S = 
 \sum_{\substack{k=1\\ 2\nmid k}}^\infty
 d(k)(\sqrt{2}-1)^k
\]
donde $d(k)$ indica el número de divisores (positivos) de $k$. Por ejemplo, $d(9)=3$ y $d(15)=4$. La aproximación precisa de $S$ choca con que el cálculo de $d(k)$ requiere la factorización de $k$.
Usando fracciones continuas, vamos  ver una fórmula alternativa con fracciones continuas que elimina este problema. Dicha fórmula es:
\begin{equation}\label{altS}
 S
 =
 \frac 12
 \sum_{\substack{n=1\\ 2\nmid n}}^\infty
 \frac{1}{p_n}
 \qquad\text{con }\frac{p_n}{q_n}\text{ las convergentes de $\sqrt{2}$}.
\end{equation}
Sabemos que los $p_n$ admiten la sencilla recurrencia $p_n=2p_{n-1}+p_{n-2}$ con $p_0=p_1=1$ y entonces es muy fácil aproximar $S$ con \eqref{altS} sin entrar en consideraciones aritméticas.

\ejer
Calcula $S$ con 8 cifras decimales correctas usando \eqref{altS}, explicando cómo estás seguro de que son correctas. Usa por ejemplo \texttt{sagemath} para las cuentas.
\medskip

Para probar \eqref{altS} emplearemos
\[
 2p_n = (1+\sqrt{2})^n-(\sqrt{2}-1)^n
 \qquad
 \text{para $n$ impar}
\]
y la cadena de igualdades
\[
 \sum_{2\nmid n}
 \frac{1}{(1+\sqrt{2})^n-(\sqrt{2}-1)^n}
 =
 \sum_{2\nmid n}
 \frac{(\sqrt{2}-1)^n}{1-(\sqrt{2}-1)^{2n}}
 =
 \sum_{2\nmid n}
 \sum_{2\nmid m}
 (\sqrt{2}-1)^{nm}.
\]

\ejer
Justifica las fórmulas anteriores y combínalas para dar una demostración de \eqref{altS}.
\medskip

El siguiente ejercicio es consecuencia de \eqref{altS} usando lo dicho anteriormente  sobre la solución de $x^2-2y^2=-1$ (si quieres, mira 
\cite[Lemma 7.6.23]{MiTa}).

\ejer
Sea $\{c_n\}_{n=1}^\infty = \{1,49,1681, 57121,\dots\}$ la sucesión de cuadrados de la forma $2m^2-1$ con $m\in\Z^+$. Demuestra
que 
$S=\frac 12 \sum_{n=1}^\infty c_n^{-1/2}$.

\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine lo que has aprendido con los ejercicios anteriores. La extensión es libre siempre que no superes las 6 páginas con el formato de esta hoja. No te pierdas  en los detalles e intenta sintetizar. De esta forma se reducirá el trabajo de ajuste final cuando termines las hojas. Los programas pueden ir en apéndices y no contar para la extensión.

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{CiCo}
J.~Cilleruelo and A.~C{\'o}rdoba.
\newblock {\em La teor\'{\i}a de los n\'{u}meros}.
\newblock Biblioteca Mondadori. Mondadori Espa\~{n}a, Madrid, 1992.

\bibitem{HaWr}
G.~H. Hardy and E.~M. Wright.
\newblock {\em An introduction to the theory of numbers}.
\newblock Oxford University Press, Oxford, sixth edition, 2008.
\newblock Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, With a foreword by
  A. Wiles.

\bibitem{MiTa}
S.~J. Miller and R.~Takloo-Bighash.
\newblock {\em An invitation to modern number theory}.
\newblock Princeton University Press, Princeton, NJ, 2006.
\newblock With a foreword by P. Sarnak.

\bibitem{northshield}
S.~Northshield.
\newblock A short proof and generalization of {L}agrange's theorem on continued
  fractions.
\newblock {\em Amer. Math. Monthly}, 118(2):171--175, 2011.

\bibitem{rose}
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\newblock {\em A course in number theory}.
\newblock Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University
  Press, New York, second edition, 1994.

\bibitem{stoll}
M.~Stoll.
\newblock Introductory {N}umber {T}heory.
\newblock Course No. 100331 at Jacobs University.
  {\small\url{https://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/lecture-notes/IntroductoryNumberTheory.pdf}},
  2006.

\end{thebibliography}


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\end{document}

