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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}

Hasta ahora habíamos visto que las series de Eisenstein tenían ciertas simetrías
asociadas a $\slz$. En esta hoja basta ver que es posible caracterizar el espacio de todas las funciones holomorfas con esas mismas propiedades bajo una condición técnica de acotación en el infinito.
\medskip

Dada una función $f:\uhp\longrightarrow\C$ holomorfa periódica con desarrollo de Fourier $\sum_{n\in\Z} a_n e(nz)$ definimos su \emph{orden en el infinito} $n(f,\infty)$ como el supremo de los $m$ tales que $a_n=0$ para $n<m$. Si este supremo es negativo o $-\infty$ (que es, por convenio, el supremo de~$\varnothing$) entonces la función ``explota'' en el infinito porque $e(nit)$ crece exponencialmente cuando $t\to+\infty$ si $n<0$. Para evitar esta situación imponemos $n(f,\infty)\ge 0$. En otras palabras, que el desarrollo de Fourier\footnote{Una pequeña cuestión técnica: Aquí estamos suponiendo desde el inicio que nuestra $f$ periódica holomorfa tiene un desarrollo de Fourier (convergente). Es posible suponer la existencia de $\lim_{\Im(z)\to +\infty} f(z)$ (o incluso del límite de $f(z)/z^\alpha$) y de ahí llegar a la existencia de tal desarrollo, aunque no lo haremos aquí \cite{zagier}.} sea $f(z)=\sum_{n=N}^\infty a_n e(nz)$ para algún $N$ no negativo. Según lo dicho, si $a_N\ne 0$ entonces $N=n(f,\infty)$.

\ejer
Sea $f$ es como antes con $n(f,\infty)\ge 0$. Explica brevemente por qué $f\big(\frac{1}{2\pi i}\log z\big)$ da lugar a una función holomorfa en el disco unidad abierto
y utilízalo para mostrar que para cualquier $b>0$ el número de ceros de $f$ en
$\{z\in\uhp\,:\, |\Re(z)|\le \frac 12,\, \Im(z)\ge b\}$ es finito.
\medskip

Pasamos ahora a la definición principal de esta hoja. Se dice que $f:\uhp\longrightarrow\C$ holomorfa es una \emph{forma modular de peso} $k$, que suponemos par no negativo, si satisface
\[
 f(z+1)=f(z),
 \qquad f(-1/z)=z^kf(z)
 \qquad\text{y}\qquad n(f,\infty)\ge 0.
\]
Denotaremos con $\mathcal{M}_k$ al conjunto de formas modulares para un peso $k$.

Por las hojas anteriores, las series de Eisenstein son formas modulares $G_k,\, E_k\in\mathcal{M}_k$. La restricción de los pesos a pares no negativos en la definición general obedece a las mismas razones y, como en la hoja~1, las dos primeras relaciones se generalizan y equivalen a $f(\gamma z)=j_\gamma^k(z)f(z)$ para todo $\gamma\in\slz$. La función nula, que formalmente tiene  $n(f,\infty)=\infty$, se considera forma modular de cualquier peso y así $\mathcal{M}_k$ se convierte en un espacio vectorial sobre $\C$ (si no te parece obvio, escribe unas líneas sobre ello).
\medskip

Introduzcamos ahora una de las formas modulares más importantes y estrechamente ligada a trabajos de  Ramanujan, quien hizo unas famosas conjeturas sobre sus coeficientes de Fourier.

\ejer
Se llama \emph{discriminante} a la función $\Delta(z)= 
\frac{1}{12^3}\big(E_4^3(z)-E_6^2(z)\big)$. 
Comprueba que está en~$\mathcal{M}_{12}$ y cumple $n(\Delta,\infty)=1$, de hecho su primer coeficiente de Fourier no nulo es $a_1=1$.
\medskip 

Nuestro objetivo es determinar $\mathcal{M}_{k}$. Un ingrediente principal es que el número de ceros de cualquier $f\in \mathcal{M}_{k}-\{0\}$ está limitado en términos de $k$ cuando se identifican los que están relacionados por $\slz$. Con este fin, introducimos la siguiente modificación del dominio fundamental añadiendo el infinito y la parte derecha de la frontera:
\[
 \mathcal{D}^+
 =
 \mathcal{D}
 \cup \{\infty\}
 \cup \partial\mathcal{D}\cap \{\Re(z)\ge 0\}.
\]

\ejer
Explica brevemente (no hace falta que entres en muchos detalles) por qué el argumento de la hoja 1 muestra que
$\bigcup_{\gamma\in\slz}\gamma\mathcal{D}^+=\uhp\cup \{\infty\}\cup \Q$. En particular, para cualquier $z\in\uhp$ existe un $\gamma\in\slz$ con $\gamma z\in  \mathcal{D}^+$.
{\sf Indicación:} Esto debería ser fácil, hay que comprobar que poner $\mathcal{D}^+$ es lo mismo que poner $\overline{\mathcal{D}}\cup\{\infty\}$.
\medskip

La acotación del número de ceros antes sugerida está recogida en la llamada \emph{fórmula de valencia} \cite{masdeu}, \cite{apostol}, \cite{iwaniec} que establece que
{\sl cualquier $f\in\mathcal{M}_k-\{0\}$ satisface
 \[
  \sum_{z\in\mathcal{D}^+}w_z n(f,z)=\frac{k}{12}
  \qquad
  \text{donde}\quad 
  w_z
  =
  \begin{cases}
   1/2&\text{si }z=i,
   \\
   1/3&\text{si }z=e^{\pi i/3},
   \\
   1&\text{en otro caso.}
  \end{cases}
 \]}
Aquí, como es habitual,  dado $z_0\ne\infty$, la notación $n(f,z_0)$ indica el orden en $z_0$ de $f$, es decir el mayor $N$ tal que $f(z)/(z-z_0)^N$ es holomorfa. 
La suma es finita en el sentido de que  $n(f,z)$ se anula excepto en un número finito de casos, según lo visto en el primer problema.

\medskip

La previsión inicial era incluir la prueba de la fórmula de valencia en esta hoja, pero para equilibrar los tamaños de los capítulos 3 y 4, la pospondremos hasta la siguiente hoja y nos centramos aquí en determinar $\mathcal{M}_k$ dándola por supuesto. 


\ejer
Dadas $m$ funciones cualesquiera $\uhp\longrightarrow\C$, ¿por qué alguna combinación lineal de ellas tiene al menos $m-1$ ceros? Usa este hecho junto con la fórmula de valencia para concluir $\dim\mathcal{M}_k<\infty$.

\ejer
Deduce de la fórmula de valencia que $\mathcal{M}_0=\C$ y $\mathcal{M}_2=\{0\}$. Esto es, las únicas formas modulares de peso cero son las constantes y la única de peso~$2$ es la idénticamente nula. 

\ejer
Utiliza la misma estrategia para obtener $\mathcal{M}_k=\{\lambda E_k\,:\, \lambda\in\C\}$ para $k\in\{4,6,8,10\}$.
\medskip

El paso a dimensiones superiores se lleva a cabo a través de la función $\Delta$. 


\ejer
Prueba que $\Delta(z)\ne 0$ para $z\in\uhp$ y, usando este hecho, 
comprueba que las aplicaciones 
\[
 \begin{array}{ccc}
  \C\times \mathcal{M}_k &\longrightarrow &  \mathcal{M}_{k+12}
  \\
  (\lambda,f) &\longmapsto & \lambda E_{k+12}+f\Delta
 \end{array}
 \qquad\text{y}\qquad
 \begin{array}{ccc}
  \mathcal{M}_{k+12} &\longrightarrow &  \C\times \mathcal{M}_k
  \\
  g &\longmapsto &
  \big(
  a_0, (g-a_0E_{k+12})/\Delta
  \big)
 \end{array}
\]
con $a_0=\lim_{t\to\infty} g(it)$ (el coeficiente de Fourier de orden $0$) son aplicaciones lineales bien definidas tales que una es la inversa de la otra y deduce
$1+\dim\mathcal{M}_k=\dim\mathcal{M}_{k+12}$. 

\ejer
De los ejercicios anteriores, concluye la fórmula para la dimensión 
\[
 \dim\mathcal{M}_k
 =
 \begin{cases}
  1+\lfloor k/12\rfloor &\text{si }12\nmid k-2,
  \\
  \lfloor k/12\rfloor &\text{si }12\mid k-2.
 \end{cases}
\]
\medskip 

Con la aplicación $\C\times \mathcal{M}_k \longrightarrow   \mathcal{M}_{k+12}$ se puede ir construyendo inductivamente $\mathcal{M}_k$ en términos de series de Eisenstein $E_\ell$ con $\ell\le k$. Lo que vamos a ver es que en realidad hay una base sencilla que solo involucra dos series de Eisenstein. Concretamente, para cualquier peso 
\[
 \mathcal{B}
 =
 \big\{E_4^j E_6^\ell\,:\, 
 4j+6\ell=k\text{ con }j,\ell\in\Z_{\ge 0}\big\}
 \quad\text{es base de}\quad 
 \mathcal{M}_k. 
\]

Comenzamos con un problema aritmético. Realmente, su indicación también te puede servir para el problema anterior.

\ejer
Demuestra que para cualquier $k$ par no negativo el número de soluciones no negativas de la ecuación diofántica $4x+6y=k$ coincide con la fórmula para $\dim\mathcal{M}_k$. 
{\sf Indicación:} Con lo que sabes de Conjuntos y Números $(x,y)=(-\frac{k}{2}+3t,\, \frac{k}{2}-2t)$, $t\in\Z$, son todas las soluciones enteras. El cardinal de las no negativas es $|I_k\cap \Z|$ donde $I_k=[\frac k6, \frac k4]$. A partir de  $I_{k+12}=[\frac k6+2, \frac k4+2]\cup(\frac k4+2, \frac k4+3]$, deduce $|I_{k+12}\cap \Z|=|I_k\cap \Z|+1$ y basta considerar $0\le k<12$.
\medskip

Una vez que sabemos que el número de productos $E_4^j E_6^\ell$ es $\dim\mathcal{M}_k$,
para completar la prueba de que $\mathcal{B}$ es base hay que verificar que son linealmente independientes. Utilizaremos para ello un truco analítico ingenioso.

\ejer
Explica por qué si los elementos de $\mathcal{B}$ fueran linealmente dependientes, entonces existiría un polinomio $P(x)=\sum_{m=0}^d a_m x^m$ no idénticamente nulo tal que 
$P(E_4^3/E_6^2)=0$. 

\ejer
Con la notación anterior, prueba que $Q(x)=\sum_{m=0}^d a_m (x-12^3)^{d-m}x^m$ tampoco es idénticamente nulo y $Q(E_4^3/\Delta)=0$. Llega a una contradicción porque $E_4^3(it)/\Delta(it)\to\infty$ cuando $t\to+\infty$.
\medskip

La base $\mathcal{B}$ permite encontrar sorprendentes expresiones para formas modulares que no parecen combinaciones lineales de sus elementos. En particular, para las series de Eisenstein de peso mayor que~6. Para terminar, veamos dos ejemplos.

\ejer
Demuestra las increíbles fórmulas $E_8=E_4^2$ y $E_4E_6=E_{10}$.
\medskip

El calificativo de ``increíbles'' no es gratuito. Si piensas en las series que definen $E_k$, entenderás que difícilmente alguien en su sano juicio sería capaz de sospechar \emph{a priori} algo parecido.





\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Una vez más,  debes combinar las soluciones de los ejercicios anteriores para elaborar un documento. Intenta ajustarte a seis páginas, sin contar la bibliografía, lo que requerirá el esfuerzo de sintetizar las explicaciones con palabras en algunos ejercicios.
El resultado constituirá el tercer capítulo de tu TFG  llamado {\sl El espacio de formas modulares} o cualquier variante que te parezca adecuada.

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{apostol}
T.~M. Apostol.
\newblock {\em Modular functions and {D}irichlet series in number theory},
  volume~41 of {\em Graduate Texts in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, second edition, 1990.

\bibitem{iwaniec}
H.~Iwaniec.
\newblock {\em Topics in classical automorphic forms}, volume~17 of {\em
  Graduate Studies in Mathematics}.
\newblock American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

\bibitem{masdeu}
M.~Masdeu.
\newblock Modular forms {(MA4H9)}.
\newblock
  {\small\url{https://mdave16.github.io/notes/Modular%20Forms%20-%20Marc%20Masdeu.pdf}},
  2015.

\bibitem{zagier}
D.~Zagier.
\newblock Elliptic modular forms and their applications.
\newblock In {\em The 1-2-3 of modular forms}, Universitext, pages 1--103.
  Springer, Berlin, 2008.

\end{thebibliography}

%\bibliography{bibtfg25AS}
%\bibliographystyle{plain}

\end{document}

