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\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
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\newcommand{\uhp}{\mathbb{H}} 
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\begin{document}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{}{\rm\textsf{\jobname}\qquad\hfill}


Esta hoja y las sucesivas serán publicadas poco a poco en 
\url{http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/supervision/TFG/tfg.html} donde se encuentra la propuesta inicial de los contenidos. La previsión es que haya cinco en total.
La fuente {\LaTeX}, en los ficheros \verb!AS25hoja*.tex!, te será muy útil como plantilla y para poder copiar fórmulas y referencias.
Más o menos imita el formato indicado en la guía docente. De todas formas, seguramente es más adecuado, para ahorrar tiempo, que las entregas de cada hoja las incluyas en la plantilla oficial del TFG que puedes descargar en Moodle.  

\


Comenzamos con la definición básica de todo tu trabajo. 
Las \emph{series de Eisenstein} son funciones $G_k:\uhp\longrightarrow\C$, del semiplano superior $\uhp=\{z\in\C\,:\, \Im(z)>0\}$ a los complejos, 
definidas como 
\[
 G_k(z)
 =
 \mathop{\sum\ \sum}_{(m,n)\in\Z^2-\{\vec{0}\}}
 (mz+n)^{-k}
 \qquad\text{con $k\in\Z_{>2}$ par}.
\]
Se dice que $k$ es el \emph{peso} de la serie de Eisenstein. Así $G_{2026}$ es la serie de Eisenstein de peso~$2026$. 
Es habitual en varios contextos considerar también las \emph{series de Eisenstein normalizadas}
\[
 E_k(z)
 =
 \frac{1}{2\zeta(k)}G_k(z)
 \qquad\text{con}\quad
 \zeta(k)=
 \frac{1}{1^k}+
 \frac{1}{2^k}+
 \frac{1}{3^k}+
 \frac{1}{4^k}+\dots
\]
Seguramente te preguntes a qué viene ``normalizar'' multiplicando por una constante tan extraña. Lo veremos en la próxima hoja.
Si buscas bibliografía por tu cuenta, debes saber que algunos autores (por ejemplo \cite{zagier}) introducen un factor $1/2$ en la definición de $G_k$ y consecuentemente la constante en $E_k$ pasa a ser $1/\zeta(k)$.
\medskip

Antes de nada, unos comentarios sin entrar en detalles acerca de la limitación de los pesos a los pares mayores que $2$. Los pesos no enteros causarían cierta ambigüedad en el argumento de los términos de la serie. Por ejemplo, para $k=10/3$, $w^{-k}=\sqrt[3]{w^{-10}}$ tiene tres posibles valores, cada una de las tres raíces cúbicas. Enseguida probaremos que  $G_k$ es absolutamente convergente para $k>2$ mientras que no lo es para $k\le 2$ lo cual sugiere olvidarse de este último caso (en cierto punto veremos una manera de redefinir $G_2$ a costa de perder algunas propiedades). Finalmente, no tiene mucho sentido considerar $k>2$ impar, porque es fácil comprender que $G_k$ sería idénticamente cero en ese caso. Si no lo ves claro, piénsalo.  
\medskip

El primer tema matemático va a ser la convergencia y la holomorfía. Dependiendo de tu habilidad con el análisis esto te puede resultar más o menos difícil. Si los dos ejercicios siguientes te parecen inasequibles, pregunta o da un vistazo a \cite{apostol}. Estos resultados nos servirán solo para establecer el marco de trabajo. No volveremos a ellos. 

\ejer
Explica por qué $\sum\sum |mi+n|^{-2}=\sum\sum (m^2+n^2)^{-1}$ con $(m,n)\in\Z^2-\{(0,0)\}$ no converge y deduce que $G_k$ no está bien definida como una serie absolutamente convergente para $k\le 2$. 
{\sf Indicación:} Considera la contribución de $m^2\le n^2< (2m)^2$.  
\medskip

Para el siguiente tienes que recordar algún teorema de convergencia de funciones holomorfas. Mira \cite{ch_vc} o \cite{rudin} si es necesario. 

\ejer
Demuestra que $\sum\sum |mz+n|^{-2-2\varepsilon}$ con $(m,n)\in\Z^2-\{(0,0)\}$ converge 
para cualquier $z\in\uhp$ y cualquier $\varepsilon>0$. 
Deduce de ello que $G_k$ es holomorfa en $\uhp$ para cada $k>2$ par.  
{\sf Indicación:}
Fijado $z$, si $C$ es el mínimo de la función $f(a,b)=|az+b|^2$ en la circunferencia unidad,
se cumple $C>0$ y $|mz+n|^{-2-2\varepsilon}\le C^{-1-\varepsilon}(m^2+n^2)^{-1-\varepsilon}$.
\medskip

Una vez establecida la convergencia absoluta, estamos autorizados a hacer cálculos término a término y a reordenarlos. En lo sucesivo, supondremos, si no se dice lo contrario,  que $k$ es un peso válido, en el sentido de que está en $\Z_{>2}$ y es par.  La propiedad de las series de Eisenstein más importante es que gozan de dos simetrías. Una es la periodicidad y otra más extraña, ambas muy fáciles de probar. 

\ejer
Demuestra que las series de Eisenstein cumplen 
\[
 G_k(z+1)=G_k(z)
 \qquad\text{y}\qquad
 G_k(-1/z)=z^k G_k(z).
\]
Comprueba además, que estas operaciones, $z\mapsto z+1$ y $z\mapsto -1/z$, son biyectivas en $\uhp$. 
\medskip 

El siguiente es un ejercicio opcional sin tiene importancia para nuestros propósitos, pero te puede ayudar a entender las manipulaciones con la serie de $G_k$. Es una expresión para~$E_k$ sin constantes raras. 

\ejer{\sf[Opcional]}
Denotando con $\gcd$ el máximo común divisor, demuestra que 
\[
 E_k(z)=
 1+
 \mathop{\sum_{m=1}^\infty\ \sum_{n\in\Z}}_{\gcd(m,n)=1} 
 (mz+n)^{-k}.
\]

Combinando las dos simetrías, podemos establecer muchas otras, por ejemplo, 
\[
 G_k\Big(
 \frac{2z+1}{z+1}
 \Big)
 =
 G_k\Big(
 -\frac{1}{z+1}+1+1
 \Big)
 =
 G_k\Big(
 -\frac{1}{z+1}
 \Big)
 =
 (z+1)^kG_k(z+1)
 =
 (z+1)^kG_k(z).
\]
La teoría de series de Eisenstein surgió justamente del estudio de funciones de variable compleja que tenían muchas simetrías, en principio ligadas a ciertas integrales llamadas elípticas \cite{ArEb}. 
El resto de la hoja está dedicado a establecer un contexto algebraico para las simetrías. 

Para $R$ un anillo conmutativo con unidad se define el grupo (con la multiplicación)
\[
 \text{\rm SL}_2(R)
 =
 \big\{
 \gamma\in\mathcal{M}_{2\times 2}(R)\,:\, \det(\gamma)=1
 \big\}
\]
donde $\mathcal{M}_{2\times 2}(R)$ son las matrices $2\times 2$ con elementos en $R$.  Nosotros vamos a considerar los casos $R=\Z$ y $\R$. Obviamente $\slz$ es un subgrupo de 
$\text{\rm SL}_2(\R)$.

Se define una \emph{acción} \cite{wiki_action} del grupo $\text{\rm SL}_2(\R)$ sobre $\uhp$ como
\[
 \begin{array}{rcl}
  \uhp &\longrightarrow&\uhp
  \\
  z&\longmapsto &\gamma z
 \end{array}
 \qquad\text{donde}\quad
 \gamma z=\frac{az+b}{cz+d}
 \quad\text{con}\quad
 \gamma=
 \begin{pmatrix}
  a&b\\ c&d
 \end{pmatrix}
 \in
 \text{\rm SL}_2(\R).
\]
Al denominador de $\gamma z$, con la notación anterior $cz+d$,  se le denota $j_\gamma(z)$.  

\ejer
Demuestra que $\Im(\gamma z)=| j_\gamma(z)|^{-2}\Im(z)$ y por tanto $\gamma z\in\uhp$ para $z\in\uhp$  (la acción está bien definida). Prueba también que es una acción en el sentido algebraico, esto es, que $Iz=z$ y que $\gamma_1(\gamma_2 z)=(\gamma_1\gamma_2)z$ para $\gamma_1,\gamma_2\in \text{\rm SL}_2(\R)$.


\ejer
Demuestra la llamada \emph{condición de cociclo}
$j_{\gamma_1\gamma_2}(z)=   j_{\gamma_1}(\gamma_2 z)   j_{\gamma_2}(z)$.
Deduce de ello que si una función $f:\uhp\longrightarrow\C$ satisface 
$f(\gamma_j z)=j_{\gamma_j}^{k}(z)f(z)$ para $j=1,2$ entonces también lo satisface cambiando $\gamma_j$ por cualquier $\gamma\in\langle\gamma_1,\gamma_2\rangle$, el grupo generado por $\gamma_1$ y $\gamma_2$. 
\medskip

Nota que $\gamma$ y $-\gamma$ actúan de la misma forma, en álgebra se dice que la acción no es \emph{fiel}. Para que lo sea, a veces se considera
$\text{\rm PSL}_2(\R)=\text{\rm SL}_2(\R)/\{\pm I\}$
en lugar de $\text{\rm SL}_2(\R)$.
\medskip




De cara a las series de Eisenstein, el grupo importante es $\slz$,  llamado \emph{grupo modular} (muchos autores reservan este nombre para su cociente por $\{\pm I\}$).
Un resultado básico y relativamente sencillo es que el grupo modular está generado por las matrices
\[
 T=
 \begin{pmatrix}
  1&1\\ 0&1
 \end{pmatrix}
 \qquad\text{y}\qquad 
 S =
 \begin{pmatrix}
  0&-1\\ 1&0
 \end{pmatrix},
\]
que representan una traslación unidad y una inversión actuando sobre $\uhp$. La primera tiene orden infinito mientras que la segunda tiene orden~$4$, aunque $S^2$ actúa como la identidad. 

\ejer
Notando que 
\[
 S
 \begin{pmatrix}
  a&b\\ c&d
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  -c&-d\\ a&b
 \end{pmatrix}
 \qquad\text{y}\qquad
 T^n
 \begin{pmatrix}
  a&b\\ c&d
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  a+cn&b+dn\\ c&d
 \end{pmatrix},
\]
demuestra que para cualquier $\gamma\in\slz$ con $\gamma_{11}\gamma_{21}\ne 0$,  el valor de $\min\big(|\gamma_{11}|, |\gamma_{21}|\big)$ se puede reducir premultiplicando por $T^nS$ o por $T^n$, eligiendo un $n\in\Z$ adecuado. 

\ejer
Si $\gamma_{11}\gamma_{21}= 0$, prueba que $\gamma\in \langle T,S\rangle$.

\ejer
Deduce de los ejercicios anteriores $\slz=\langle T,S\rangle$.
Para comprobar que lo has entendido, expresa 
$
\big(\begin{smallmatrix}
 -1&-3\\ 2&5
\end{smallmatrix}\big)
$
como producto de potencias de $T$ y $S$.
\medskip

\ejer
Explica por qué con lo aprendido en los ejercicios anteriores, se tiene inmediatamente 
$G_k(\gamma z)=j_\gamma^k(z)G_k(z)$ para todo $\gamma\in\slz$. 
{\sf Nota:} Esta igualdad admite también una prueba con cálculos, pero es más instructivo y sencillo que apeles a lo anterior. 
\medskip

El último ejercicio es un mero ejemplo sin mayor importancia 
para que practiques. Debes saber que $\zeta(4)=\pi^4/90$, que quizá te haya aparecido en algún curso de análisis (se obtiene con variable compleja o con series de Fourier). En cualquier caso, volveremos sobre ello.


\ejer
Explica por qué $G_4(2025i)$ es aproximadamente $\pi^4/45$. No hace falta que acotes el error a no ser que tengas interés en hacerlo. Relaciona $G_4(z)$ con $G_4\big((z-2)/(5z-9)\big)$
y utiliza el resultado para aproximar 
$G_4
\big(
\frac{2\,278\,127}{11\,390\,634}+
\frac{25i}{1\,265\,626}
\big)$.
\medskip

De la teoría de la próxima hoja se puede deducir que la aproximación obtenida en el ejercicio anterior es sorprendentemente precisa, con una precisión de miles de cifras significativas. 


\



\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}


\paragraph{Tarea a entregar.}
Debes escribir un documento que combine las soluciones de los ejercicios anteriores. 
Enuncia los resultados como teoremas, proposiciones, etc. cuando lo consideres conveniente.
Ten en cuenta que el TFG consiste en aprender un tema y, sobre todo, redactarlo bien. La extensión es libre con la recomendación de que no superes cinco páginas con el formato de esta hoja o de la plantilla, sin contar la bibliografía.  
No pongas todos los detalles en los cálculos, únicamente lo suficiente para seguir los razonamientos.
El resultado será el primer capítulo de tu TFG  llamado {\sl Definiciones básicas y el grupo modular} o algo parecido. 

\begin{center}
\noindent\rule{0.95\textwidth}{1.1pt}
\end{center}

\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{apostol}
T.~M. Apostol.
\newblock {\em Modular functions and {D}irichlet series in number theory},
  volume~41 of {\em Graduate Texts in Mathematics}.
\newblock Springer-Verlag, New York, second edition, 1990.

\bibitem{ArEb}
J.~V. Armitage and W.~F. Eberlein.
\newblock {\em Elliptic functions}, volume~67 of {\em London Mathematical
  Society Student Texts}.
\newblock Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

\bibitem{ch_vc}
F.~Chamizo.
\newblock Convergencia de funciones holomorfas.
\newblock
  {\small\url{https://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/1819vcII/resumenes/cnv.pdf}},
  2019.

\bibitem{rudin}
W.~Rudin.
\newblock {\em Real and complex analysis}.
\newblock McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1987.

\bibitem{wiki_action}
{Wikipedia contributors}.
\newblock Group action --- {Wikipedia}{,} the free encyclopedia.
\newblock
  {\small\url{https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Group_action&oldid=1304854793}},
  2025.
\newblock [Online; accessed 15-August-2025].

\bibitem{zagier}
D.~Zagier.
\newblock Elliptic modular forms and their applications.
\newblock In {\em The 1-2-3 of modular forms}, Universitext, pages 1--103.
  Springer, Berlin, 2008.

\end{thebibliography}


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\end{document}

