%%%%FONTS \font\grbf=cmbx10 scaled\magstep3 \font\bigbf=cmbx10 scaled\magstep2 \font\smc=cmcsc10 %scaled\magstep1 \font\tenbf=cmbx10 %scaled\magstep1 \font\eightrm=cmr8 %scaled\magstep1 \font\tenrm=cmr10 %scaled\magstephalf \font\grrm=cmr10 scaled\magstep3 \font\eightbf=cmbx8 %scaled\magstephalf \font\tensl=cmsl10 %scaled 1200 %% %%%%NEWCOUNTS \countdef\secno=40 \countdef\theno=41 \countdef\capno=42 \countdef\ejeno=43 \countdef\tagno=30 \countdef\footlinenumber=51 %number footnote \footlinenumber=0 \secno=0 \capno=0 \ejeno=1 \theno=1 \tagno=1 \count52=0 \count53=0 \count54=0 \count55=0 \count56=0 \count57=0 \count58=0 \count59=0 %% %%%%FORMAT \hfuzz=5pt \vfuzz=10pt \def\pagewidth#1{\hsize#1\relax} \def\pageheight#1{\vsize#1\relax} \def\hcorrection#1{\advance\hoffset#1\relax} \def\vcorrection#1{\advance\voffset#1\relax} \pageno=1 \pagewidth{12.50cm} \pageheight{21.50cm} \hcorrection{0.25cm} \vcorrection{0.40cm} %\showthe\lineskiplimit %\baselineskip=13.1395pt %\lineskiplimit=1.0949pt %\lineskip=13.1395pt \baselineskip=14.1395pt \lineskiplimit=1.0949pt \lineskip=14.9395pt %\abovedisplayskip=12.0pt plus 3.0pt minus 9.0pt %\abovedisplayshortskip=0.0pt plus 3.0pt %\belowdisplayskip=12.0pt plus 3.0pt minus 9.0pt %\belowdisplayshortskip=7.0pt plus 3.0pt minus 4.0pt \abovedisplayskip=4.0pt plus 0.5pt minus 1.0pt \abovedisplayshortskip=2.0pt plus 0.5pt minus 1.0pt \belowdisplayskip=3.0pt plus 0.5pt minus 1.0pt \belowdisplayshortskip=2.0pt plus 0.5pt minus 1.0pt \parskip=4.5pt plus 2.0pt minus 2.0pt %\parskip=0pt plus 1.0pt minus 1.0pt \skipdef\antiparskip=51 \antiparskip=-4pt plus 0.5pt minus 0.5pt \interlinepenalty=55 %% %%%%NEWDIMENSIONS %% %%%%MACROS \let\\=\cr \let\redefine\def \def\predefine#1#2{\let#1#2} \let\plainfootnote\footnote \let\footnote\undefined % \def\!{\relax\ifmmode\mskip-\thinmuskip\relax\else\kern-.16667em\fi} \def\author#1{\medskip\centerline{\smc #1}\medskip} \def\binom#1#2{\left(#1\atop#2\right)} \def\binrel@#1{\setbox0\hbox{\thinmuskip0mu \medmuskip-1mu\thickmuskip1mu$#1\mathsurround=0pt$}% \setbox1\hbox{\thinmuskip0mu\medmuskip1mu\thickmuskip 1mu${}#1{}\mathsurround=0pt$}% \setbox2\hbox{\hskip\wd2\hskip-\wd0}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\boxit#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox{\kern2pt \hbox{\kern1pt #1}\kern2pt} \vrule}\hrule}} \def\openboxit#1{\raise-3pt\hbox{\vbox{\hbox{\vrule\vbox{\kern2pt \hbox{#1}\kern2pt} \vrule}\hrule}}\kern3pt} %\def\boxit#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\kern3pt\vbox{\kern3pt#1 %\kern3pt}\kern3pt\vrule}\hrule}} %El \boxit recuadra una lista de cajas horizontales %Modo de empleo. %Para recuadrar N cajas horizontales escribir %\boxit{\hbox{PRIMERA CAJA}\hbox{SEGUNDA CAJA}.....\hbox{CAJA N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C {\text {${\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle{\text{\rm C}}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\textstyle{\text{\rm C}}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\scriptstyle{\rm C}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle{\rm C}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}}}$} } \def\Cal#1{{\cal#1}} \def\Calnot#1{{\kern-3pt}\not\kern-4pt{\cal#1}} \def\capi#1{\global\advance\capno by1\centerline{\grbf\number\capno. #1}} \def\cite#1{{\bf [#1]}} \def\coro#1{\smc{\bf Corolario\ \number\secno.\number\theno\global\advance\theno by1#1:} \sl\nopagebreak} \def\endcoro{\par\rm} \def\defi{{\smc Definici\'on:}\thinspace\sl\nopagebreak} \def\enddefi{\rm} \predefine\chic{\chi} \redefine\chi{\raise3pt\hbox{$\chic$}} \def\doubleline#1#2{\vbox{\eqalignno{\noalign{#1\hfill}\cr\hfill{}#2\cr}}} \def\dsb#1\\#2\enddsb{\scriptstyle{\scriptstyle #1\atop\scriptstyle #2}} \def\enddsb{} \def\ejem#1{\underbar{Ejemplo\thinspace\thinspace#1}.} \redefine\footnote#1{\global\advance\footlinenumber by1 %\plainfootnote{$^{\number\footlinenumber}$}{{\everymath{\scriptstyle}\sevenrm \plainfootnote{$^{*}$}{{\everymath{\scriptstyle}\sevenrm #1}}} \def\F{\text{\rm I\!F}} \def\frac#1#2{{#1\over#2}} \def\dfrac#1#2{{\displaystyle{#1\over#2}}} \def\ejer{{\bf\number\ejeno)\ }\global\advance\ejeno by1} \redefine\emptyset{\text{$\not\kern-2pt\text{\smc o}$\thinspace}} \def\intertext#1{\noalign{\hbox{#1\hfill}}} \def\inv{^{-1}} \def\lemm#1{\smc{\bf Lema \number\secno.\number\theno\global\advance\theno by1\thinspace{\rm #1}:}\sl\nopagebreak} \def\endlemm{\par\rm} \def\lqq{\lq\lq} \def\moveline#1{\cr\noalign{\vskip#1}} \def\N {\text{\rm I\!N}} \def\nopagebreak{\relax\ifmmode \ifinner\nondmatherr@\nopagebreak\else\postdisplaypenalty\@M\fi \else\ifvmode\nobreak\else\vadjust{\nobreak}\fi\fi} \def\nota{{\tenrm\underbar{Nota}:\ }\nopagebreak} \def\notdiv{\kern-4pt\not|} \def\obse{{\tenrm\underbar{Observaci\'on}:\ }\nopagebreak} \def\orbits{\Gamma\backslash \text{\rm I\!H}} \def\overset#1\to#2{\binrel@{#2}\ifdim\wd2<0pt \mathbin{\mathop{\kern0pt#2}\limits^{#1}}\else\ifdim\wd2>0pt \mathrel{\mathop{\kern0pt#2}\limits^{#1}}\else {\mathop{\kern0pt#2}\limits^{#1}}{}\fi\fi} \def\pagebreak{\relax\ifmmode \ifinner\nondmatherr@\pagebreak\else\postdisplaypenalty-\@M\fi \else\ifvmode\break\else\vadjust{\break}\fi\fi} \def\pagenumbers{\footline={\hss\tenrm\folio\hss}} \def\proo#1{\smc\underbar{Dem.{\rm#1}}:\rm\nopagebreak} \def\endproo{\qed \rm} \def\prop#1{\smc{\bf Proposici\'on\ \number\secno.\number\theno\global\advance\theno by1\thinspace{\rm #1}:}\sl\nopagebreak} \def\endprop{\rm} \def\Q {\text {${\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle{\rm Q}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\textstyle{\rm Q}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\scriptstyle{\rm Q}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} {\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle{\rm Q}$}\hbox{\hbox to0pt{\kern0.4\wd0\vrule height0.9\ht0\hss}\box0}} }$} } \def\qed{\ifhmode\unskip\nobreak\fi\ifmmode\ifinner\else\hskip5pt\fi\fi \hbox{\hskip5pt\vrule width6pt height6pt depth1.5pt\hskip1pt}} \def\R {\text{\rm I\!R}} \def\rcl#1{\count31=#1 {(\number\secno.}\ifnum\count31=1{\number\count52)}\fi \ifnum\count31=2{\number\count53)}\fi \ifnum\count31=3{\number\count54)}\fi \ifnum\count31=4{\number\count55)}\fi \ifnum\count31=5{\number\count56)}\fi \ifnum\count31=6{\number\count57)}\fi \ifnum\count31=7{\number\count58)}\fi \ifnum\count31=8{\number\count59)}\fi } \def\section#1{\tagno=1\theno=1\global\advance\secno by1\medskip\centerline{\smc\number\capno.\number\secno. #1}} \def\sen{\text{\rm sen}\thinspace} \def\sto#1{\leqno\sssto#1} \def\ssto#1{&\sssto#1} \def\sssto#1{\count31=#1 \ifnum\count31=1 \global\count52=\tagno\fi \ifnum\count31=2 \global\count53=\tagno\fi \ifnum\count31=3 \global\count54=\tagno\fi \ifnum\count31=4 \global\count55=\tagno\fi \ifnum\count31=5 \global\count56=\tagno\fi \ifnum\count31=6 \global\count57=\tagno\fi \ifnum\count31=7 \global\count58=\tagno\fi \ifnum\count31=8 \global\count59=\tagno\fi (\number\secno.\number\tagno)\global\advance\tagno by1 } \def\subnot{\kern-1pt\not\kern2pt} \def\subr#1{\underbar{\tenrm#1}} \def\suchthat{\thinspace :\thinspace} \def\sumprim{\smash{\raise-3pt\hbox{$\scriptstyle'$}}} %\def\text{\relaxnext@\ifmmode\let\next\text@\else\let\next\text@@\fi\next} \def\text#1{\leavevmode\hbox{#1}} \def\title#1{\centerline{\grbf #1}} \def\theo#1{\smc{\bf Teorema\ \number\secno.\number\theno\global\advance\theno by1\thinspace#1:} \sl\nopagebreak} \def\endtheo{\par\rm} \def\timehm{\count31=\time \count32=\count31 \divide\count31 by 60 \number\count31 \multiply\count31 by 60 \advance\count32 by -\count31 :\ifnum\count32<10 0\fi \number\count32} \def\underset#1\to#2{\binrel@{#2}\ifdim\wd2<0pt \mathbin{\mathop{\kern0pt#2}\limits_{#1}}\else\ifdim\wd2>0pt \mathrel{\mathop{\kern0pt#2}\limits_{#1}}\else {\mathop{\kern0pt#2}\limits_{#1}}{}\fi\fi} \def\uhp {\text {${\mathchoice {\setbox0=\hbox{$\displaystyle{\text{\rm I\!H}}$}\box0} {\setbox0=\hbox{$\textstyle{\text{\rm I\!H}}$}\box0} {\setbox0=\hbox{$\scriptstyle{\text{\sevenrm I\kern-.11667em H}}$}\box0} {\setbox0=\hbox{$\scriptscriptstyle{\text{\sevenrm I\kern-.11667em H}}$}\box0} }$} } \def\vartriangleright{\text{\vrule height5.25pt\kern-1.4pt$>$}} \def\version{\line{\hfill version:\ /\timehm/\number\year-\number\month -\number\day}} \def\Z {\text{\rm Z\! \!Z}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%new macros %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\fecha{Febrero 1999} \def\grad{\text{{\rm gr}\thinspace}} \def\mcd{\text{{\rm mcd\thinspace}}} \def\mcm{\text{{\rm mcm\thinspace}}} \def\met{\phantom{-----}} \redefine\P{\text{\rm I\!P}} \def\rollo{ {\eightbf \baselineskip=1.4395pt \lineskiplimit=1.5949pt \lineskip=4.2395pt \vbox{ \hbox{\vbox{\ -El examen consta de cinco problemas de los cuales \subr{s\'olo se deben escoger cuatro}, en otro caso se corregir\'an los que se hayan escrito primero. Se ruega rodear con un c\'{\i}rculo, en esta hoja, los n\'umeros de los problemas elegidos.}} \hbox{\vbox{\ - Adem\'as, al final del examen se propone un ejercicio de mayor dificultad se\~nalado como opcional, \subr{este \'ultimo problema es voluntario} y se sugiere que lo intenten s\'olo aquellos que, habiendo completado el resto de los problemas, quieran optar a la matr\'{\i}cula de honor.}} } }%endeightrm } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \magnification=\magstep1 \nopagenumbers \pageno=1 \par % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO A %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}\fecha \hfill{\smc Modelo A}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) Hallar una f\'ormula exacta para $\smash{\displaystyle{ f(n)=\sum_{d|n} d|\mu(d)| }}$ en t\'erminos de la facto\-rizaci\'on de $n$. \par \qquad b) La suma de los divisores positivos de la forma $6k+1$ de un n\'umero, ?\lq es una funci\'on multiplicativa? \par \qquad c) ?\lq Qu\'e hora es $19^{1999}$ horas despu\'es de las once? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Caracterizar mediante condiciones de congruencia los primos, $p>3$, tales que $x^2+4x+7\equiv 0\ \ (p)$ tiene soluci\'on. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea $\alpha=\sum 5^{-n^5}$. Demostrar las siguientes afirmaciones: \par \qquad a) $\alpha$ es un n\'umero irracional. \par \qquad b) $\beta=\sqrt{3+\sqrt{\alpha}}$ tambi\'en es irracional. \par \qquad c) Existe un n\'umero natural, $n$, tal que la mil\'esima cifra decimal de $n\beta$ es un 7. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sabiendo que el grupo de clases de $\Z[\sqrt{-17}]$ es isomorfo a $\Z_4$ y que est\'a generado por $(3, 1+\sqrt{-17})$, hallar el n\'umero de soluciones de $x^2+17y^2=9^{1999}$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+8$ y sean $P=(2,4)$ y $Q=(1,3)$. Calcular $1999P+1999Q$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Estudiar si la serie $\sum \big(7+p^3\cos(\pi(p+2)/6)\big)^{-2}$ converge, donde $p$ recorre los primos. ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO B %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}\fecha \hfill{\smc Modelo B}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Consideremos el n\'umero real $\alpha=\sum 7^{-n^7}$. Demostrar que: i) $\alpha$ es un n\'umero irracional. ii) $\beta=\sqrt{5+\sqrt{\alpha+2}}$ tambi\'en es irracional. iii) Existe un entero positivo, $n$, tal que la vig\'esima primera cifra decimal de $n\beta$ es un 7. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+8$ y sean $P,Q\in E$ dados por $P=(1,-3)$ y $Q=(2,-4)$. Calcular $1999P+1999Q$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sabiendo que el grupo de clases de $\Z[\sqrt{-17}]$ es isomorfo a $\Z_4$ y que est\'a generado por $(3, 1+\sqrt{-17})$, hallar el n\'umero de soluciones de $x^2+17y^2=9^{1999}$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Determinar mediante condiciones de congruencia los primos, $p>3$, tales que $x^2+2x+4\equiv 0\ \ (p)$ tiene soluci\'on. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) ?\lq Es multiplicativa la funci\'on que da la suma de los divisores positivos de la forma $6k+1$ de un n\'umero? \par \qquad b) Hallar una f\'ormula exacta para $\smash{\displaystyle{ f(n)=\sum_{d|n} d^{-1}|\mu(d)| }}$ en t\'erminos de la facto\-rizaci\'on de $n$. \par \qquad c) Si mi reloj marca las diez, ?\lq qu\'e hora ser\'a dentro de $31^{1999}$ horas? \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Estudiar si la serie $\sum \big(7+p^3\cos(\pi(p+2)/6)\big)^{-2}$ converge, donde $p$ recorre los primos. ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO C %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}\fecha \hfill{\smc Modelo C}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Sabiendo que el grupo de clases de $\Z[\sqrt{-17}]$ es isomorfo a $\Z_4$ y que est\'a generado por $(3, 1+\sqrt{-17})$, hallar el n\'umero de soluciones de $x^2+17y^2=9^{1999}$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea $\alpha$ el n\'umero real definido por la serie infinita $\sum 6^{-n^6}$. Demostrar que: i) $\alpha\not\in\Q$. ii) $\beta=\sqrt{1+\sqrt{\alpha+1}}\not\in\Q$. iii) Existe un entero positivo, $n$, tal que la d\'ecima cifra decimal de $n\beta$ es un 5. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+8$ y sean $P,Q\in E$ dados por $P=(2,4)$ y $Q=(1,-3)$. Calcular $1999P-1999Q$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) ?\lq Qu\'e hora marcar\'a el reloj $43^{1999}$ horas despu\'es de las nueve? \par \qquad b) Consideremos los divisores positivos de la forma $6k+1$ de un n\'umero. ?\lq Es multiplicativa la funci\'on que asigna a cada n\'umero la suma de dichos divisores? \par \qquad c) Hallar una f\'ormula exacta para $\smash{\displaystyle{ f(n)=\sum_{d|n} d^{2}|\mu(d)| }}$ en t\'erminos de la facto\-rizaci\'on de $n$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Dar condiciones de congruencia sobre los primos, $p>3$, necesarias y suficientes para que $x^2-6x+12\equiv 0\ \ (p)$ tenga soluci\'on. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Estudiar si la serie $\sum \big(7+p^3\cos(\pi(p+2)/6)\big)^{-2}$ converge, donde $p$ recorre los primos. ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO D %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}\fecha \hfill{\smc Modelo D}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Encontrar condiciones de congruencia necesarias y suficientes sobre los primos, $p>3$, para que $x^2+8x+19\equiv 0\ \ (p)$ tenga soluci\'on. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+8$ y sean $P,Q\in E$ dados por $P=(1,-3)$ y $Q=(2,4)$. Calcular $1999P-1999Q$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) ?\lq Qu\'e hora es $55^{1999}$ horas despu\'es de las once? \par \qquad b) Hallar una f\'ormula exacta para $\smash{\displaystyle{ f(n)=\sum_{d|n} d^{-2}|\mu(d)| }}$ en t\'erminos de la facto\-rizaci\'on de $n$. \par \qquad c) Consideremos los divisores positivos de la forma $6k+1$ de un n\'umero. ?\lq Es multiplicativa la funci\'on que asigna a cada n\'umero la suma de dichos divisores? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sea $\alpha=\sum 2^{-n^2}$. Demostrar que: i) $\alpha\not\in\Q$. ii) $\beta=\sqrt{7-\sqrt{\alpha}}\not\in\Q$. iii) Existe un entero positivo, $n$, tal que la vig\'esima cifra decimal de $n\beta$ es un 3. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sabiendo que el grupo de clases de $\Z[\sqrt{-17}]$ es isomorfo a $\Z_4$ y que est\'a generado por $(3, 1+\sqrt{-17})$, hallar el n\'umero de soluciones de $x^2+17y^2=9^{1999}$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Estudiar si la serie $\sum \big(7+p^3\cos(\pi(p+2)/6)\big)^{-2}$ converge, donde $p$ recorre los primos. ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak \def\fecha{Septiembre 1999} % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO A %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}\fecha \hfill{\smc Modelo A}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Calcular la suma $ \smash{\displaystyle{\sum_{d|n}d^{-1}\phi(d)}} $ para $n=100^{100}$. \phantom{$\displaystyle{\int_{\R}}$} \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Hallar una f\'ormula para las soluciones racionales de $x^2+2xy+2y^2=5$. ?\lq Cu\'antas de ellas son enteras? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) Si $p>2$ es primo, ?\lq con qu\'e es congruente $(p^4-1)!$ m\'odulo $p^4$? \par \qquad b) Si $n\in\Z$, demostrar que $(n+6)(n+7)(n-4)/6\in\Z$. \par \qquad c) ?\lq Qu\'e n\'umero representa la fracci\'on continua peri\'odica $[2,3,3,3,\dots]$? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Consid\'erese el punto $P=(1,2)$ de la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+3$. Hallar razo\-nadamente otro punto racional, $Q=(x_0,y_0)$, en $E$ con $y_0>0$ y demostrar que $P$ no tiene orden 4. (Indicaci\'on: No es necesario calcular $3P$). \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sabiendo que $\Z[\sqrt{-5}]$ tiene n\'umero de clases dos, hallar el n\'umero de soluciones enteras de $x^2+5y^2=231^2$. (Nota: $231=3\cdot 7\cdot 11$). \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Si $\pi(n)=|\{p\text{ primo}\suchthat 1
0$. y demostrar que $P$ no tiene orden 4. (Indicaci\'on: No es necesario calcular $3P$). \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Hallar una f\'ormula para las soluciones racionales de $3y^2+2xy+x^2=6$. ?\lq Cu\'antas de ellas son enteras? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder breve pero razonadamente a los tres apartados siguientes: \par \qquad a) La fracci\'on continua peri\'odica $[1,4,4,4,\dots]$ representa un n\'umero irracional cuadr\'atico, ?\lq cu\'al es? \par \qquad b) Si $p>2$ es primo, ?\lq con qu\'e es congruente $(p^3-1)!$ m\'odulo $p^3$? \par \qquad c) Si $n\in\Z$, demostrar que $(n+7)(n+8)(n-3)/6\in\Z$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Calcular la suma $ \displaystyle{\sum_{d|n}d^{-1}\phi(d)} $ para $n=75^{75}$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Si $\pi(n)=|\{p\text{ primo}\suchthat 1
2$ es primo, ?\lq con qu\'e es congruente $(p^4-1)!$ m\'odulo $p^4$? \par \qquad c) ?\lq Qu\'e n\'umero representa la fracci\'on continua peri\'odica $[2,3,3,3,\dots]$? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Consid\'erese el punto $P=(1,2)$ de la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+3$. Hallar razo\-nadamente otro punto racional, $Q=(x_0,y_0)$, en $E$ con $y_0>0$ y demostrar que $P$ no tiene orden 4. (Indicaci\'on: No es necesario calcular $3P$). \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Si $\pi(n)=|\{p\text{ primo}\suchthat 1
2$ es primo, ?\lq con qu\'e es congruente $(p^3-1)!$ m\'odulo $p^3$? \par \qquad b) La fracci\'on continua peri\'odica $[1,4,4,4,\dots]$ representa un n\'umero irracional cuadr\'atico, ?\lq cu\'al es? \par \qquad c) Si $n\in\Z$, demostrar que $(n+7)(n+8)(n-3)/6\in\Z$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer El punto $P=(1,2)$ pertenece a la curva el\'{\i}ptica $E:\thinspace y^2=x^3+3$. Hallar razo\-nadamente otro punto racional, $Q=(x_0,y_0)$, en $E$ con $y_0>0$. y demostrar que $P$ no tiene orden 4. (Indicaci\'on: No es necesario calcular $3P$). \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Hallar una f\'ormula para las soluciones racionales de $3y^2+2xy+x^2=6$. ?\lq Cu\'antas de ellas son enteras? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Calcular la suma $ \displaystyle{\sum_{d|n}d^{-1}\phi(d)} $ para $n=75^{75}$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Si $\pi(n)=|\{p\text{ primo}\suchthat 1
3$ para que $x^2+5x+7$ se pueda factorizar en $\Z_p$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer El anillo de enteros $\Z[\sqrt{-14}]$ tiene grupo de clases $\Z_4$. Sea $\phi:\Cal I\longrightarrow\Z_4$ la funci\'on que asigna a cada ideal su clase y $p>7$ un n\'umero primo. \par a) Demostrar que si $(p)=\wp\cdot\overline{\wp}$ entonces $x^2+14y^2=p^2$ tiene $2$ soluciones enteras si y s\'olo si $\phi(\wp)=\overline{1}$ \'o $\phi(\wp)=\overline{-1}$, y tiene $6$ en otro caso. \par b) Sabiendo que $x^2+14y^2=3481$ tiene como soluciones \'unicas enteras $(59,0)$ y $(-59,0)$, hallar el n\'umero de soluciones enteras de $x^2+14y^2=3481^{1000}$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Hallar cu\'antos cubos perfectos superan en tres unidades a una suma parcial de la serie $3+5+7+9+11+13+\dots$. \par ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios y despu\'es pensar en $\Z [\sqrt{-2}]$). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak % % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO G %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}Septiembre 2000 \hfill{\smc Modelo G}} \hrule}} \par \par %\noindent{\bf Inicial del primer apellido} %\raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill %\par\ \par \line{{\bf Apellidos y Nombre {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \rolli \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Dar condiciones de congruencia necesarias y suficientes sobre los primos $p>3$ para que $x^2+5x+7$ se pueda factorizar en $\Z_p$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer El anillo de enteros $\Z[\sqrt{-14}]$ tiene grupo de clases $\Z_4$. Sea $\phi:\Cal I\longrightarrow\Z_4$ la funci\'on que asigna a cada ideal su clase y $p>7$ un n\'umero primo. \par a) Demostrar que si $(p)=\wp\cdot\overline{\wp}$ entonces $x^2+14y^2=p^2$ tiene $2$ soluciones enteras si y s\'olo si $\phi(\wp)=\overline{1}$ \'o $\phi(\wp)=\overline{-1}$, y tiene $6$ en otro caso. \par b) Sabiendo que $x^2+14y^2=3481$ tiene como soluciones \'unicas enteras $(59,0)$ y $(-59,0)$, hallar el n\'umero de soluciones enteras de $x^2+14y^2=3481^{1000}$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Calcular la suma $$ {\displaystyle{\sum_{d|n}\sigma(d)(\mu(d))^3}} $$ para $n=210^{2000}\cdot 2000^{210}$ donde $\sigma$ es la funci\'on suma de divisores positivos y $\mu$ es la funci\'on de M\"obius. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Hallar todas las soluciones $x,y\in\Z$ de cada una de las ecuaciones siguientes: \par a) $x^2=1+2y^2$, \qquad b) $x^2-y^2=2000$, \qquad c) $x^4-4y^4=1$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Responder a los tres apartados siguientes: \par a) ?\lq Cu\'al es la \'ultima cifra del n\'umero $1^7+2^7+\dots+1999^7+2000^7$? b) Estudiar si la curva el\'{\i}ptica $y^2=x^3-2x+1$ tiene un \'unico punto racional de orden $2$. c) Demostrar que un n\'umero es divisible por $11$ si y s\'olo si la suma de las cifras en lugar par menos la suma de las cifras en lugar impar es divisible por $11$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Hallar cu\'antos cubos perfectos superan en tres unidades a una suma parcial de la serie $3+5+7+9+11+13+\dots$. \par ({\it Sugerencia}: Hacer primero el resto de los ejercicios y despu\'es pensar en $\Z [\sqrt{-2}]$). \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak % % % %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MODELO E %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % - \headline={\vbox{ \line{Teor\'{\i}a de N\'umeros\phantom{asasdasdsa}Febrero 1999 \hfill{\phantom{\smc Modelo E}}} \hrule}} \par \par \noindent{\bf Inicial del primer apellido} \raise-.5cm\boxit{\phantom{$\matrix{ a&b\\ c&d}$}}\hfill \par\ \par \line{{\bf Nombre y Apellidos {\rm %(por favor, con letra clara) }}\dotfill} \medskip \line{\dotfill\ D.N.I. (o pasaporte)........................ Plan Nuevo (S\'{\i}/No).......} \par\ \par\rollo \par \medskip \centerline{{\smc EJERCICIOS}} \par \ejeno=1 %------------------------------- \ejer Sabiendo que el n\'umero de clases de $\Z[\sqrt{-5}]$ es dos, hallar el n\'umero de soluciones de $x^2+17y^2=1089^{1999}$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Hallar una f\'ormula que d\'e todas soluciones racionales de $x^2+xy+3y^2-5=0$. ?\lq Cu\'antas de ellas son enteras? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Contestar breve pero razonadamente a las tres preguntas siguientes: \par \qquad a) ?\lq Qu\'e n\'umero representa la fracci\'on continua $[2,4,4,4,4,\dots]$? \par \qquad b) Si $p$ es un primo impar, ?\lq con qu\'e es congruente $(p^2-1)!$ m\'odulo $p^2$? \par \qquad c) Sea $p$ es un primo impar, si $p$ tiene $4$ representaciones como suma de dos cuadrados, ?\lq cu\'antas puede tener $p+2$? \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Sabiendo que 103 es primo, hallar cu\'antas soluciones tiene $x^5-x^4-10x^3+10x^2+21x-21\equiv 0\ (103^2)$. \par %------------------------------- %------------------------------- \ejer Dadas la curvas el\'{\i}pticas $E_a:\thinspace y^2=x^3+a$ con $a\in\Z^+$, hallar todos los valores de $a$ para los que $E_a$ tiene alg\'un punto de orden dos. De entre estos valores, encontrar alguno mayor que dos de manera que el grupo de Mordell-Weil no sea $\Z_2$. \par %------------------------------- \par \medskip {\smc Opcional:} \par %\ejer Estudiar si la serie $\sum \big(p^2\cos(\pi(p+1)/4)+13\big)^{-2}$ converge, donde $p$ recorre los primos. \par %%%%% %%%%% %%%%% %%%%% \vfill \pagebreak \bye %