Seminario
123

avanzado

123


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teoría de los números 2006
123



Horario del curso
Lunes C-XV-520
13:30
Viernes C-XV-320
11:30

La primera lección tendrá lugar el 20 de febrero.



Apuntes

Contenido
Estado
Actualización
Disponible
19/02/2006
Disponible
02/03/2006
Disponible
23/03/2006
Disponible
20/04/2006
Disponible
17/05/2006
Disponible
29/05/06


Aviso: Las sesiones de los días 10 y 13 de marzo las impartirá el profesor Antonio Córdoba.




Información


Público al que va dirigido:
El cursos lo podrán seguir alumnos de tercer ciclo incluso sin experiencia previa en temas avanzados de teoría de números. Posiblemente los seniors con experiencia investigadora en el área lo encontrarán poco provechoso.

Material:
Se escribirán apuntes del curso cuya versión electrónica se  incluirá gradualmente en esta página.

Orientación:
La organización del curso trata de ser en cierto modo experimental. Se prevé tratar muchos temas anteponiendo las ideas a las detalles de las demostraciones.  Será bienvenida la participación de cualquier asistente que desee utilizar alguna de las sesiones para comunicar algún tema de interés en el que sea experto.

Sesiones:
Se prevén dos sesiones por semana de una hora y media cada una.  Si así se decidiera en la reunión previa también se podría considerar una sola sesión de tres horas con intermedio.

Temario:
El temario anotado que se incluye más abajo es una declaración de intenciones muy optimista. Posiblemente las limitaciones de tiempo impondrán una selección de acuerdo con los intereses de los asistentes.





Curso avanzado de Teoría de Números
TEMARIO ANOTADO

1. Funciones aritméticas

§1. Introducción
         Ejemplos básicos. Series de Dirichlet. Inversión de Möbius.

§2. Promedios de funciones aritméticas
         Sumación por partes. Fórmula de sumación de Abel. Teorema de Wirsing.

§3. Algunas técnicas algebraicas y analíticas
         Teoría de anillos e ideales. Sumas trigonométricas.

§4. La distribución de los primos
         La función pi(x). Teorema de los números primos. Ideas básicas de la demostración.

2. Métodos de criba

§1. La criba de Eratóstenes y Legendre
         Inclusión-exclusión e ideas básicas. Acotación elemental de  pi(x).

§2. La criba de Brun
         Mejora de la acotación elemental de . La suma de los inversos de los primos gemelos converge.

§3. La criba de Selberg
         Mejora de la acotación de pi(x). Teorema de Brun-Titchmarsh.

§4. Aplicaciones de la criba lineal
         Ejemplos.

3. Las funciones de Dirichlet

§1. Caracteres
         Definición. Relación con los primos en progresiones aritméticas. Caracteres primitivos. Sumas de Gauss. Desigualdad de Pólya-Vinogradov.

§2. La fórmula del número de clases
         Formas cuadráticas. Ideales en extensiones cuadráticas. Fórmula del número de clases.

§3. Primos en progresión aritmética
         El resultado de Dirichlet. El teorema de los números primos en progresiones aritméticas.

§4. El cero de Siegel y resultados de densidad
         Teorema de Siegel. Teoremas básicos de densidad (Ingham). Detección de ceros. Ideas en el teorema de Bombieri-Vinogradov.

4. El método del círculo

§1. Ideas básicas
         Arcos mayores y menores.

§2. El problema de Goldbach
         Teorema de Vinogradov. Goldbach para casi todo primo.

§3. El problema de Waring
         Sumas de cuadrados. Desigualdades de Hua y de Weyl.

§4. El método del círculo de Kloosterman
         Representación por formas cuadráticas cuaternarias.

5. Introducción a las curvas elípticas

§1. Preliminares de geometría algebraica
         Curva algebraica. Morfismos y sus grados. Anillos locales y divisores. Teorema de Riemann-Roch.

§2. La ley de grupo
         Puntos de torsión y generadores. Teorema de Lutz-Nagell.

§3. El teorema de Mordell-Weil
         Demostración del teorema de Mordell-Weil. Ideas sobre los grupos de Selmer y de Tate-Shafarevich.

6. Introducción a las formas modulares

§1. Grupos Fuchsianos 
Uniformización de curvas elípticas. Función de Weierstrass. Definición de forma modular. Grupos de congruencias. Sistemas de multiplicadores.

§2. Series de Eisenstein y formas parabólicas
         Dimensión del espacio de formas modulares. Funciones theta. Ejemplos en la representación como suma de cuadrados. El método del círculo y relaciones modulares (fórmula exacta para las particiones).

§3. Funciones automorfas
         Operadores de Hecke. Propiedades multiplicativas y productos de Euler. El caso de peso . Curvas modulares. Teoría de Eichler Shimura. Consideraciones acerca de la conjetura de Shimura, Taniyama y Weil.

§4. Introducción a la teoría espectral
         Formas de Maass. Fórmula de la traza de Selberg. Fórmula de Kuznetsov.




Enlaces:

 Curso de W.W.L. Chen http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/lndpnfolder/lndpn.html
 Curso de N.D. Elkies   http://www.math.harvard.edu/~elkies/M259.02/index.html
 Notas de D.R. Heath-Brown http://front.math.ucdavis.edu/math.NT/0209360
 Curso de J. Steuding http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jsteudin/files/seminario0.pdf