Seminario		avanzado
	teoría de los números 2006

---

Horario del curso
Lunes C-XV-520	13:30
Viernes C-XV-320	11:30

La primera lección tendrá lugar el 20 de febrero.

---

Apuntes

Contenido	Estado	Actualización
Portada, etc.  índice	Disponible	19/02/2006
Capítulo 1 (completo)	Disponible	02/03/2006
Capítulo 2 (completo)	Disponible	23/03/2006
Capítulo 3 (completo)	Disponible	20/04/2006
Capítulo 4 (completo)	Disponible	17/05/2006
Capítulo 5 (completo)	Disponible	29/05/06

Aviso: Las sesiones de los días 10 y 13 de marzo las impartirá el profesor Antonio Córdoba.

---

Información

1. Funciones aritméticas

§1. Introducción

         Ejemplos básicos. Series de Dirichlet. Inversión de Möbius.

§2. Promedios de funciones aritméticas

         Sumación por partes. Fórmula de sumación de Abel. Teorema de Wirsing.

§3. Algunas técnicas algebraicas y analíticas

         Teoría de anillos e ideales. Sumas trigonométricas.

§4. La distribución de los primos

         La función pi(x). Teorema de los números primos. Ideas básicas de la demostración.

2. Métodos de criba

§1. La criba de Eratóstenes y Legendre

         Inclusión-exclusión e ideas básicas. Acotación elemental de  pi(x).

§2. La criba de Brun

         Mejora de la acotación elemental de . La suma de los inversos de los primos gemelos converge.

§3. La criba de Selberg

         Mejora de la acotación de pi(x). Teorema de Brun-Titchmarsh.

§4. Aplicaciones de la criba lineal

         Ejemplos.

3. Las funciones de Dirichlet

§1. Caracteres

         Definición. Relación con los primos en progresiones aritméticas. Caracteres primitivos. Sumas de Gauss. Desigualdad de Pólya-Vinogradov.

§2. La fórmula del número de clases

         Formas cuadráticas. Ideales en extensiones cuadráticas. Fórmula del número de clases.

§3. Primos en progresión aritmética

         El resultado de Dirichlet. El teorema de los números primos en progresiones aritméticas.

§4. El cero de Siegel y resultados de densidad

         Teorema de Siegel. Teoremas básicos de densidad (Ingham). Detección de ceros. Ideas en el teorema de Bombieri-Vinogradov.

4. El método del círculo

§1. Ideas básicas

         Arcos mayores y menores.

§2. El problema de Goldbach

         Teorema de Vinogradov. Goldbach para casi todo primo.

§3. El problema de Waring

         Sumas de cuadrados. Desigualdades de Hua y de Weyl.

§4. El método del círculo de Kloosterman

         Representación por formas cuadráticas cuaternarias.

5. Introducción a las curvas elípticas

§1. Preliminares de geometría algebraica

         Curva algebraica. Morfismos y sus grados. Anillos locales y divisores. Teorema de Riemann-Roch.

§2. La ley de grupo

         Puntos de torsión y generadores. Teorema de Lutz-Nagell.

§3. El teorema de Mordell-Weil

         Demostración del teorema de Mordell-Weil. Ideas sobre los grupos de Selmer y de Tate-Shafarevich.

6. Introducción a las formas modulares

§1. Grupos Fuchsianos 

Uniformización de curvas elípticas. Función de Weierstrass. Definición de forma modular. Grupos de congruencias. Sistemas de multiplicadores.

§2. Series de Eisenstein y formas parabólicas

         Dimensión del espacio de formas modulares. Funciones theta. Ejemplos en la representación como suma de cuadrados. El método del círculo y relaciones modulares (fórmula exacta para las particiones).

§3. Funciones automorfas

         Operadores de Hecke. Propiedades multiplicativas y productos de Euler. El caso de peso . Curvas modulares. Teoría de Eichler Shimura. Consideraciones acerca de la conjetura de Shimura, Taniyama y Weil.

§4. Introducción a la teoría espectral

         Formas de Maass. Fórmula de la traza de Selberg. Fórmula de Kuznetsov.