Espacios de Hardy y la matriz de Hilbert
(Curso no oficial para un pequeño grupo de estudiantes de máster y doctorado y/o profesores interesados. Duración total: 40 horas) 

  1. J, 19/02/2015 (90'): La matriz de Hilbert vista como operador en espacios de sucesiones. Las integrales de Euler, B y Γ. Propiedades.Criterio de Schur para sucesiones: enunciado.  
  2.  J, 26/02/2015 (90'): Criterio de Schur: demostración. Cota superior para la norma de la matriz de Hilbert y su  acotación como operador en lp. Resultados básicos sobre el espectro de la matriz de Hilbert en l2. (W. Magnus)
  3. M, 17/03/2015 (60'): Espacios de Hardy del disco; el caso Hilbert. Definición y primeras propiedades. Límites radiales y no tangenciales. 
  4.  L, 23/03/2015 (90'): Ángulo de Stolz, teorema de Abel. Teorema de Fatou (con límites no tangenciales) adaptado a H2 (vía el teorema de Carleson, según Aleman). Tres formas de ver H2. Ejemplo de función sin límites radiales. 
  5.  X, 22/04/2015 (60'): Subarmonicidad, espacios de Hardy del disco (exponente general), teorema de convexidad de Hardy. Completitud de Hp. Casos límite de las medias integrales Mp(r;f) respecto a p, media geométrica, clase de Nevanlinna. Fórmula de Jensen. Los ceros de las funciones en la clase de Nevanlinna y en los espacios de Hardy.  
  6. L, 27/04/2015 (90'): Resolución de problemas (Duren, Capítulo 1). Productos de Blaschke finitos: propiedades. Productos de Blaschke infinitos: convergencia y acotación. 
  7. L, 04/05/2015 (90'): Resolución de problemas (Duren, Capítulos 1 y 2). La integral logarítmica: monotonía. Comportamiento de la integral logarítmica de un producto de Blaschke. Los valores frontera de un producto de Blaschke.
  8. X,  06/05/2015 (90'): Resolución de problemas (Duren, Capítulos 1 y 2). Teorema de factorización de Riesz. Cada función en H1 es el producto de dos funciones en H2.  
  9. X, 13/05/2015 (60'): Teorema de F. y R. Nevanlinna: representación de las funciones de la clase N como cocientes de funciones analíticas acotadas. Existencia de límites no tangenciales y su integrabilidad en la circunferencia, para las funciones en la clase N y en los espacios Hp. 
  10. X, 20/05/2015 (90'): Resolución de problema s (Duren, Capítulo 2) Aplicaciones de la factorización de Riesz. Estimaciones puntuales. Convergencia en la media a los valores frontera de las funciones Hp. 
  11. L, 01/06/2015 (90'): Breve repaso de las semanas anteriores: propiedades de las funciones en espacios de Hardy. La desigualdad clave para el logaritmo del módulo de una función en Hp.
  12.  L, 08/06/2015 (75'): Los espacios de Hardy hp de funciones armónicas. Fundamentos de las funciones de variación acotada. Las integrales de Rieman-Stieltjes y de Poisson-Stieltjes.  
  13.  L, 15/06/2015 (90'): Propiedades y cálculos de las integrales de Riemann-Stieltjes. Teorema de representación de Riesz de los funcionales lineales acotados en C [a,b]. Teorema de selección de Helly.  
  14. J, 18/06/2015 (90'): Demostración del teorema de selección de Helly.Teorema de representación de Herglotz. Funciones analíticas con  la parte real positiva. Hoja de problemas sobre la variación acotada. 
  15. M, 23/06/2015 (75'): La caracterización de h1 en términos de las de integrales de Poisson-Stieltjes y de las diferencias de funciones armónicas positivas: demostración. La derivada simétrica y el comportamiento frontera de las integrales de Riemann-Stieltjes.  De vuelta a los límites radiales.  
  16. X, 24/06/2015 (90'): Factorización canónica de las funciones en espacios de Hardy: funciones internas, factor externo. Caracterización de las funciones externas en H1. Hoja de problemas sobre los espacios de Hardy y la factorización canónica. 
  17. M, 30/06/2015 (75'): Mayorante armónica. Aplicación: acotación de los operadores de composición en espacios de Hardy. Operadores de multiplicación puntual. Acotación de las funciones multiplicadoras de un espacio de Hardy en sí mismo. 
  18. X, 01/07/2015 (75'): Cálculo exacto de la norma de un operador de multiplicación en Hp. Núcleo reproductor de Riesz (o de Szegö) para el funcional de  evaluación puntual. Proyección ortogonal de Riesz en H2. Las funciones Hp como integrales de Poisson de funciones Lp. Densidad de los polinomios en Hp.  
  19. L, 06/07/2015 (75'): Fin de la prueba de la densidad de los polinomios en Hp. Identificación del espacio de Hardy con un subespacio de Lp de la circunferencia en términos de los coeficientes de Fourier. Comentarios acerca de las matrices y operadores de Hankel y la proyección de Riesz. 
  20. X, 08/07/2015 (90'): Matrices y operadores de Hankel en H2. Acción de un operador de Hankel sobre los monomios. El producto del operador de conjugación con uno de multiplicación por una función esencialmente acotada y con la proyección de Riesz es un operador de Hankel acotado. Teorema de Nehari (1957): cada operador de Hankel tiene un símbolo acotado, con la misma norma que el operador. Demostración a través de la factorización de Riesz. 
  21. L, 13/07/2015 (90'): Comentarios sobre algunos ejercicios. La matriz de Hilbert como operador de Hankel y su símbolo. Su actuación sobre una función en H2. La conjugada armónica de una función en hp, p finito y p>1: teorema de Riesz (dos enunciados). Comentarios históricos sobre el cálculo de la norma de la proyección de Riesz y su relación (reciente) con los operadores de Hankel en espacios de Hardy y la norma de la matriz de Hilbert. 
  22. X, 15/07/2015 (75'): Prueba del teorema de Riesz para p=2; ejemplos en los casos extremos cuando falla el teorema. La equivalencia entre los dos enunciados del teorema de Riesz. Norma de la proyección de Riesz (Hollenbeck-Verbitsky 2000): enunciado. 
  23. L, 20/07/2015 (90'): El operador matriz de Hilbert en Hp, p finito y p>1. Cota superior para su norma (Diamantopoulos-Siskakis, 2001), p>2. La definición formal de un operador de Hankel en el espacio Hp, p finito y p>1. Convergencia de los polinomios de Taylor de una función en Hp, p finito y p>1, a la función (Zhu, 1991).
  24. X, 22/07/2015 (120'): Fin de la prueba del teorema de Zhu. Representación de un operador de Hankel como producto de tres operadores en Hp, p finito y p>1 y estimación para su norma. El caso especial de la matriz de Hilbert. Estimación inferior para la norma de la matriz de Hilbert en Hp (cálculo exacto de la norma: Dostanic-Jevtic-Vukotic, 2008).