Curso de doctorado: SUBESPACIOS INVARIANTES, con minicursos adicionales

impartido en la UAM en abril-junio de 2012

Clase 1 (V, 20-04-2012), 12:45—14:15, aula 420: Espacios de Banach y de Hilbert. Ejemplos y propiedades. Las dimensiones algebraica y ortogonal. Separabilidad. Operadores lineales, ejemplos, operadores de desplazamiento. Isomorfismos entre espacios de Banach. Autovalores y subespacios invariantes. Ejemplos triviales: la existencia de subespacios invariantes no triviales en espacios de Banach no separables y la no existencia en R². Mención de los ejemplos de Enflo y Read.

Clase 2 (X, 25-04-2012), 11:45—13:15, aula 420: Existencia de subespacios invariantes no triviales de cualquier operador en Rⁿ, n>2, y Cⁿ, n>1. Inversos e inversos laterales de un operador. La serie de von Neumann. Espectro de un operador, radio espectral. Operadores compactos: ejemplos, operadores de rango finito, primeras propiedades, espectro. Mención de los teoremas de Aronszajn y Smith, Robinson y Halmos. Enunciado del teorema de Lomonosov.

Clase 3 (L, 30-04-2012), 11:45—13:15, aula 420: Demostración del teorema de Lomonosov. Otras formulaciones: lema de Lomonosov. Una generalización: teorema de Daughtry.

Clase 4 (V, 18-05-2012), 12:45—14:15, aula 520: Retículo de los subespacios invariantes de un operador. Los casos del operador de desplazamiento (Beurling) y de Volterra (Donoghue). El espacio de Hardy H2², visto de tres maneras: los coeficientes de cuadrado sumable, los límites de las medias integrales de orden 2 y los valores frontera en la circunferencia unidad. Ejemplos y primeras propiedades: estimaciones puntuales, convergencia.

Clase 5 (L, 28-05-2012), 10—11:30, aula 420: Productos de Blaschke. Ceros de las funciones en el espacio de Hardy. La fórmula y la desigualdad de Jensen. Funciones internas, singulares internas y externas. Factorización canónica en el espacio de Hardy.

Clase 6 (V, 01-06-2012), 10—11:00, aula 520: Un lema sobre las medidas reales. El teorema de Beurling y la demostración de Helson y Lowdenslager. Algunos corolarios del teorema de Beurling.