Curso avanzado sobre interpolación y ceros de funciones analíticas, 2004-05
Este curso no formal fue impartido para un grupo de estudiantes avanzados y doctores.
DESARROLLO DEL TEMARIO
DÍA A DÍA:
Día 1
(02-11-2004), 1 h 30':
- Interpolación
polinomial finita sin restricciones: polinomios
de Lagrange.
- Interpolación de las
derivadas. Esquema de Hermite.
- Condición necesaria y
suficiente para la interpolación
infinita (sin restricciones) por funciones enteras.
Día 2
(23-11-2004), 1 h 30':
- Los enunciados de los
teoremas de Weierstrass y de Mittag-Leffler.
Demostración del teorema de Guichard sobre la
interpolación
por funciones enteras.
- Productos infinitos y sus
convergencias absoluta y uniforme en los
conjuntos compactos.
Día 3
(30-11-2004), 1 h 30':
- Un ejemplo típico.
Representación de todas las
funciones enteras con un número finito de ceros.
- Productos canónicos
de Weierstrass. Demostración del
teorema de Weierstrass.
- Representación de las
funciones meromorfas como cocientes de
funciones enteras.
Día 4
(14-12-2004), 1 h 30':
- El álgebra H(D) de
las funciones holomorfas en el disco
unidad. El espacio de las funciones analíticas acotadas en el
disco y su
completitud. Función
singular interna atómica y otros
ejemplos.
- Álgebra del disco.
Ejemplos.
- El espacio de Hardy H2. Definición en
términos de los
coeficientes de Taylor. Isometría con l2.
Base ortonormal estándar.
- Una familia de funciones no
acotadas en H2.
Día 5
(16-12-2004), 1 h:
- Densidad de los polinomios
en H2. Estimación puntual precisa.
Funciones
extremales para la evaluación puntual. Núcleo reproductor
de Riesz.
- La convergencia en H2 es más
fuerte que la convergencia uniforme en los compactos, pero no
viceversa.
- Norma de Hardy como
límite de medias integrales crecientes.
Las funciones analíticas acotadas están contenidas en H2.
Día 6
(20-12-2004), 1 h:
- Operador de
multiplicación puntual en H2,
su acotación y su norma. Caracterización de todos los
automultiplicadores puntuales.
- Teorema de Schur (1917)
sobre la representación de las
funciones analíticas acotadas en función de sus
coeficientes de Taylor.
Demostración de Kortram
(2001) a través de operadores de
multiplicación puntual.
Día 7
(11-01-2005), 1 h 30':
- Productos de Blashcke
finitos. Primeras propiedades y una
caracterización.
- Métrica
pseudo-hiperbólica. Comprobación de sus
propiedades.
- Discos
pseudo-hiperbólicos. La no completitud del disco con la
métrica pseudo-hiperbólica.
Día 8
(18-01-2005), 1 h 30':
- Densidad de una
métrica (elemento de longitud).
Definición de la métrica hiperbólica. Primeras
propiedades.
- Fórmula para la
distancia hiperbólica en terminos de la
pseudo-hiperbólica.
- Completitud de la
métrica hiperbólica en el disco.
Día 9
(16-02-2005), 1 h:
- Repaso de algunas
propiedades básicas de los productos de
Blaschke finitos.
- Teorema de
Carathéodory (aproximación por productos de
Blaschke finitos).
Día 10 (22-02-2005), 1
h:
- Problema de
interpolación finita en la bola unidad del espacio
de funciones analíticas acotadas.
- Enunciado del teorema de
Pick-Nevanlinna y su interpretación
para dos pares de puntos.
- Enunciado del problema de
interpolación universal.
- Productos de Blaschke
infinitos. Primeras propiedades.
Día 11
(24-02-2005), 30':
- Operadores de Wirtinger.
Propiedades de las funciones
armónicas.
- Funciones
subarmónicas. Primeras propiedades y ejemplos.
Día 12 (01-03-2005), 1
h:
- Demostración de la
desigualdad del valor medio. Más
ejemplos de funciones subarmónicas.
- Crecimiento de las medias
integrales Mp(r;f). Espacio de
Hardy Hp: definición.
Día 13 (03-03-2005), 1
h:
- Propiedades elementales de
la norma en Hp. Inclusiones
entre distintos espacios de Hardy.
- Subordinación.
Teorema de Littlewood. Acotación de
operadores de composición.
- Ejemplos de funciones no
acotadas en distintos espacios de Hardy.
Día 14 (08-03-2005), 1
h:
- Teorema de
subordinación de Littlewood. Demostración y
aplicación a la acotación de
los operadores de
composición arbitrarios en cualquier espacio
de Hardy.
- Más ejemplos de
funciones en Hp: aplicaciones
conformes sobre ciertos dominios angulares.
El día 10-03-2005 NO
habrá Seminario Avanzado.
Éste se sustituirá por una conferencia en
el Seminario de
Análisis Complejo, impartida por el Prof. Manuel
Contreras de la Universidad
de Sevilla.
Día 15 (15-03-2005), 1
h:
- Espacios de Hardy
armónicos hp y su relación
con los Hp.
- Repaso de las propiedades
del núcleo de Poisson, de las
funciones de variación acotdada y
de la integral de Stieltjes.
Día 16 (17-03-2005), 1
h:
- Repaso: el espacio dual de
C[a,b] y las funciones de variación
acotada.
- La derivada
simétrica. Ejemplos.
- Existencia de límites
radiales de las integrales de
Poisson-Stieltjes en los puntos donde existe la
derivada simétrica.
Día 17 (29-03-2005), 1
h:
- Repaso: teorema de
Banach-Alaoglu. Teorema de selección de
Helly.
- Relación entre la
clase h1, las integrales de
Poisson-Stieltjes y las diferencias de dos funciones
armónicas.
Día 18 (31-03-05), 1 h:
- Lïmites radiales
de las funciones en hp.
- Ángulos de Stolz;
motivación. Límites
no
tangenciales
(angulares): definición y observaciones.
Día 19 (05-04-05), 1 h:
- Límites no
tangenciales de las
funciones analíticas acotadas. Discusión.
Día 20 (07-04-05), 1 h:
- Límites no
tangenciales de las
funciones analíticas acotadas (continuación).
- De vuelta al espacio métrizable H(D) con la convergencia uniforme
en los compactos. Prueba
de Urysohn que no posee ninguna norma compatible que haga de él
un espacio Banach
- Fórmula de Jensen: repaso de la prueba.
Día 21
(14-04-05), 1 h:
- La clase N de Nevanlinna. Definición
y primeras propiedades.
- Teorema de los hermanos Nevanlinna sobre los cocientes de dos
funciones analíticas y acotadas.
Día 22
(19-04-05), 1 h 30':
- Clase de Nevanlinna y el teorema de los hermanos
Nevanlinna:continuación y corolarios.
- Límites no tangenciales de funciones en cualquier espacio de
Hardy.