En este proyecto se abordan algunos problemas del Análisis de Fourier moderno que pueden englobarse en los siguientes apartados:
1. Bases y marcos: representaciones de grupos, ondículas y sistemas de Haar
2. Aproximación no lineal y algoritmos greedy
3. Teoremas de restricción, integrales oscilatorias, multiplicadores de Fourier, proyección de Bergman y núcleo del calor para operadores integro-diferenciales
4. Aproximación óptima de datos, modelización matemática y aprendizaje automático
Dentro de cada apartado, los objetivos planteados y los resultados esperados son los siguientes:
1.1 Caracterizar los marcos y las bases de Riesz generados por órbitas de representaciones proyectivas, y los espacios invariantes asociados.
1.2 Construir conjuntos de muestreo para ondículas de traslaciones y rotaciones del plano con cuasicristales.
1.3 Caracterizar B(s,p,q) y F(s,p,q) en términos de los coeficientes de Haar. Encontrar condiciones suficientes para la acotación de un multiplicador de Haar en F(s,p,q) cuando el sistema de Haar es una base condicional.
1.4 Construir bases de ondículas de soporte compacto en el caso multivariado. Estudiar propiedades de aproximación por subespacios invariantes con mapas expansivas.
2.1 Investigar la optimalidad del WCGA, y abordar en Lp los casos abiertos del sistema trigonométrico si p<2, y del sistema de Haar si p>2.
2.2 Obtener mejoras computacionales en la caracterización de las bases greedy y almost-greedy basadas en el uso de polinomios con coeficientes constantes.
2.3 Estudiar el efecto de la componente lineal de las bases consecutive-greedy para la convergencia del algoritmo thresholding greedy al respecto de las propiedades de simetría.
2.4 Estudiar la equivalencia entre espacios de aproximación generalizados y clases greedy a través del uso de las funciones de democracia.
3.1 Mejorar el rango de acotación en el teorema de restricción para superficies generales de tipo finito.
3.2 Obtener resultados de restricción para hipersuperficies de tipo finito en dimensiones superiores y en subvariedades de codimensión mayor que uno.
3.3 Estudiar la conjetura del multiplicador de Fourier radial, restringida a los subespacios en Lp(rad, L2(sph)) en el rango óptimo 1 < p < 2d/(d-1).
3.4 Determinar condiciones necesarias que relacionen el comportamiento asintótico de ciertos núcleos del calor con teoremas de Widder.
3.5 Estudiar la acotación de proyecciones de Bergman en tubos sobre conos.
4.1 Construir aproximaciones óptimas de datos por subespacios invariantes, incluyendo criterios de optimalidad adicionales sobre los generadores.
4.2 Aplicar los muestreos con cuasicristales a la modelización de la corteza visual del cerebro.
4.3 Construir una transformada de scattering para grupos finitos y estudiar las redes neuronales asociadas.
4.4 Estudiar algoritmos de codificación posicional de datos generales para redes neuronales con atención y transformers.
