We present an introduction to L²-Betti numbers including their basic properties, main immediate applications and a status report. We discuss open prominent problems. If time allows, we will also treat L²-torsion, a much more sophisticated invariant. The talk is for non-experts and shall shed light on the forthcoming thematic program about L²-invariants.

Wolfgang Lück es un experto internacional en topología algebraica. Destacan sus trabajos en la algebraización de los invariantes L² (como los números L² de Betti o la cohomología L²), que fueron definidos originalmente por Atiyah en términos de álgebras de operadores, y sus aplicaciones a la geometría y a la teoría K. Wofgang Lück es un experto en conjeturas de isomorfismo (Baum-Connes, Farrell-Jones, Borel). Ha esclarecido la conexión entre distintas generalizaciones de estas conjeturas, y ha probado varias de ellas para importantes familias de grupos. Wolfgang Lück ha sido conferenciante invitado en el 5 congreso de la EMS y en el ICM 2010. Entre otros honores, ha sido director del HIM (Hausdorff Research Institute for Mathematics), presidente de la sociedad matemática alemana, es fellow de la American Mathematical Society, y ganador de los premios Max-Planck-Forschungspreis y Gottfried Wilhelm Leibniz Prize. Actualmente es el investigador principal de una ERC Advanced grant.