Desarrollo del curso día a día:

  X, 29/01: Evaluación. Bibliografía. Contenidos. Motivación del temario: algunas diferencias entre los espacios de dimensión finita y de dimensión infinita: rango, núcleo, invertibilidad.

  L, 03/02: Más motivación: autovalores, subespacios invariantes, espectro, idea de algunos teoremas espectrales.

  X, 05/02: Espacios de Hilbert, polarización. Elementos de norma mínima en conjuntos cerrados y convexos. Teorema de la  descomposición/proyección ortogonal. 

  L, 10/02: Repaso de operadores y funcionales lineales acotados. Ejemplos. Teorema de representación de Riesz para los espacios de Hilbert. Representación de los funcionales sesquilineales acotados. 

  X, 12/02: Operador adjunto, diferencias entre los espacios de Hilbert y de Banach. Definición de algunos tipos especiales de operadores: autoadjuntos, normales, unitarios. Un ejemplo relevante: el operador de multiplicación por una función esencialmente acotada en el espacio complejo de las funciones de cuadrado integrable.

  L, 17/02: Propiedades básicas de los operadores normales y unitarios. Definición, propiedades y caracterización de las proyecciones ortogonales. Identidad de polarización generalizada. Propiedades elementales de los operadores autoadjuntos.

  X 19/02: Fórmula alternativa para la norma de un operador autoadjunto a través del producto escalar. Las partes real e imaginaria de un operador. Operadores positivos. Polinomios de operadores. Sucesiones acotadas y monótonas de operadores autoadjuntos y su convergencia. Raíz cuadrada de un operador autoadjunto y positivo: existencia.

  L, 24/02: Raíz cuadrada de un operador autoadjunto y positivo: fin de la demostración, unicidad, corolarios. Representación polar de un operador invertible. Equivalencia unitaria de dos operadores.

  X, 26/02: Repaso de bases. La cardinalidad no numerable de la base algebraica de un espacio de dimensión infinita vía el teorema de Baire. Problema de desarrollo como combinación lineal infinita de los vectores de una base. Sistemas ortonormales, ejemplos, coeficientes de Taylor, desigualdad de Bessel. Convergencia de series en espacios de Banach. Lema de Zorn, existencia de sistemas ortonormales maximales, conjuntos fundamentales.

  L, 03/03: Teorema fundamental de los sistemas ortonormales, base ortonormal y dimensión de un espacio de Hilbert. Separabilidad de espacos de Hilbert y la cardinalidad de su base. Convergencia de series de Fourier; mención del teorema de Carleson (1966). Convergencia débil de una sucesión de vectores. Primeras propiedades: acotación, equivalenca de la convergencia débil y la convergencia en la norma para una sucesión de vectores ortogonales. 

  X, 05/03: Todo espacio de Hilbert separable es isomorfo al espacio euclídeo o a espacio l² (real o complejo). Las topologías en el espacio de operadores acotados: uniforme, fuerte y débil. Primeras propiedades y ejemplos relevantes. Operadores de rango uno. Repaso de la compacidad sequencial relativa. Primeras propiedades; teorema de Ascoli-Arzelà.   

  L, 10/03: Algunos conjuntos en los que la convergencia débil y la fuerte son equivalentes. Operadores de rango finito: primeras propiedades. Operadores compactos. Propiedades importantes. Las funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto. Teorema de Stone-Weiestrass; ejemplos.

  X, 12/03: Operadores desde un espacio de dimensión finita. Más sobre los operadores de rango finito y su relación con la compacidad. Mención del resultado de Enflo. Operadores integrales acotados con el núcleo de cuadrado integrable.

  L, 17/03: Algunos operadores integrales como ejemplos de operadores compactos (usando el teorema de Stone-Weierstrass). Operadores compactos y las convergencias débil y fuerte. Definición y ejemplos de subespacios invariantes. El caso trivial de un espacio no separable. Mención de los resultados de Enflo y Read.

  X, 19/03: Discusión de la existencia de subespacios invariantes en espacios dimensión finita. Invertibilidad de operadores en espacios de Banach y de Hilbert; caracterización de operadores invertibles por la izquierda y por la derecha. La serie de von Neumann.

  L, 24/03: Más comentarios sobre la invertibilidad. Espectro y conjunto resolvente de un operador. Funciones analíticas cuyos  valores son operadores, versión vectorial del teorema de Liouville. El espectro de un operador acotado es compacto y no vacío. Radio espectral. Teorema de la aplicación espectral para polinomios.

  X, 26/03: Fórmula para el radio espectral. Clasificación de los puntos espectrales: espectro puntual, continuo y residual. Ejemplo: las partes del espectro del operador de desplazamiento.

  L, 31/03: Espectros de operadores autoadjuntos, normales y unitarios y sus partes.

  X, 02/04: Ejemplos relevantes: operador de desplazamiento bilateral, espectro del operador de multiplicación puntual en L^p. Enunciado del teorema sobre el espectro de un operador compacto. Ejemplos típicos: operadores diagonales.

  L, 07/04: Análisis detallado del espectro de un operador compacto: demostración para espacios de Hilbert.

  X, 09/04: Existencia de los subespacios invariantes no triviales para los operadores compactos y los que conmutan con un compacto (teorema de Lomonosov).

  X, 23/04: Repaso de algunos temas de Análisis Complejo: convergencia uniforme en conjuntos compactos, teoremas de Weiestrass y de Hurwitz, compacidad relativa en H(D): familias normales, teorema de Montel, límites radiales, ángulo de Stolz.

  V, 25/04 (clase adelantada en lugar del día 19/05, L): teorema de Abel sobre el límite no tangencial de series de potencias. El espacio de Hardy H², visto de tres maneras: los coeficientes de cuadrado sumable, los límites de las medias integrales de orden 2 y los valores frontera en la circunferencia unidad. Existencia de los límites no tangenciales en casi todo punto (teorema de Fatou) para H² a partir de los teoremas de Carleson y de Abel, tres maneras de ver el operador de desplazamiento, algunas propiedades básicas del espacio de Hardy: estimación puntual, la convergencia en la norma implica la convergencia uniforme en compactos, la bola unidad es una familia normal.  

  L, 28/04: El espacio de Hardy H^p. Breve repaso de productos infinitos. Productos de Blaschke, finitos e infinitos. Fórmula de Jensen. Teorema de Szegö: equivalencia de la condición de Blaschke a la acotación uniforme de las integrales del logaritmo en circunferencias. La clase de Nevanlinna y su caracterización a través de los cocientes de funciones analíticas acotadas. La existencia de límites no tangenciales en casi todo punto para las funciones en un espacio de Hardy arbitrario.  

  X, 30/04: Ceros de las funciones en el espacio de Hardy. Factorización de Riesz. La norma a partir de los límites radiales en espacios de Hardy. Funciones internas, singulares internas y externas; factorización canónica. Ejemplos de subespacios invariantes del operador de desplazamiento, S. Espacios de Bergman: definición y primeras propiedades.

  L, 05/05 (clases impartidas por Alexandru Aleman, profesor invitado, Universidad de Lund): Three examples: Wiener's theorem, Volterra-invariant subspaces, Beurling's theorem for the Hardy space. Wold decomposition. Hereditary inequalities.

  X, 07/05 (continuación del minicurso de Alexandru Aleman): Hereditary inequalities (continuation). 2-isometries. The invariant  subspaces of the Dirichlet space. Beurling's theorem for the Bergman space (Shimorin's proof as modified later by McCullough and Richter).

  L, 12/05: Familias de proyecciones ortogonales. Repaso: teorema espectral para operadores autoadjuntos (hermíticos) en Cn. Funciones de variación acotada y la integral de Riemann-Stieltjes.

  X, 14/05: Descomposición de la unidad. Las partes positiva y negativa de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert. Teorema espectral. 

  X, 21/05: Teoremas espectrales: comentarios finales. Presentación de trabajos y entrega de ensayos sobre los temas elegidos.